Differenza tra insieme ordinato e n-upla
Ciao a tutti, ho il seguente dubbio.
Qual è la differenza tra una n-upla ed un insieme ordinato (supponiamolo finito per semplicità)?
n-upla: insieme ordinato che può avere elementi uguali al suo interno.
Ma com'è possibile questo se la n-upla è un insieme? Un insieme non può avere elementi uguali al suo interno; come si può quindi formalizzare il concetto di n-upla a partire da quello di insieme ordinato?
C'entra qualcosa il concetto di "relazione d'ordine" oppure devo per forza rifarmi ad una successione che mi dia una numerazione (e quindi un ordinamento) degli elementi?
Ad esempio, io definirei un insieme ordinato nel seguente modo:
[tex]I = \{i : \{1, \dots, n\} \rightarrow I_0\}[/tex]
Tra l'altro trovo già difficoltà a fare così, perché ho bisogno di più di un insieme per definire l'insieme [tex]I[/tex] (l'insieme [tex]I_0[/tex] da cui pescare gli elementi).
Per mantenere la coerenza nella definizione di prima (l'insieme è un oggetto che non ha elementi ripetuti) dovrei anche imporre che [tex]i[/tex] sia iniettiva, ma se non la pongo tale, pur ottenendo l'effetto desiderato (avere elementi ripetuti), andrei contro la definizione di "insieme"...
Chi mi sa aiutare?
Qual è la differenza tra una n-upla ed un insieme ordinato (supponiamolo finito per semplicità)?
n-upla: insieme ordinato che può avere elementi uguali al suo interno.
Ma com'è possibile questo se la n-upla è un insieme? Un insieme non può avere elementi uguali al suo interno; come si può quindi formalizzare il concetto di n-upla a partire da quello di insieme ordinato?
C'entra qualcosa il concetto di "relazione d'ordine" oppure devo per forza rifarmi ad una successione che mi dia una numerazione (e quindi un ordinamento) degli elementi?
Ad esempio, io definirei un insieme ordinato nel seguente modo:
[tex]I = \{i : \{1, \dots, n\} \rightarrow I_0\}[/tex]
Tra l'altro trovo già difficoltà a fare così, perché ho bisogno di più di un insieme per definire l'insieme [tex]I[/tex] (l'insieme [tex]I_0[/tex] da cui pescare gli elementi).
Per mantenere la coerenza nella definizione di prima (l'insieme è un oggetto che non ha elementi ripetuti) dovrei anche imporre che [tex]i[/tex] sia iniettiva, ma se non la pongo tale, pur ottenendo l'effetto desiderato (avere elementi ripetuti), andrei contro la definizione di "insieme"...
Chi mi sa aiutare?
Risposte
Il problema che poni è sottile (e quindi il fatto che tu te lo ponga depone a tuo merito!).
Di sicuro non si passa per i numeri per definire le coppie ordinate e nemmeno c'entra l'ordinamento (che casomai è introdotto
avendo già la nozione di coppia ordinata). Non so bene quale sia il modo attualmente seguito dai teorici degli insiemi per farlo,quello che ricordo di avere visto (molti anni fa ...) è $(a,b):={{a},{a,b}}$.
Fatte le coppie si possono fare le terne, le quaterne e così via.
Per parlare di $n$-uple, con $n$ generico credo invece che ci vogliano gli interi.
Di sicuro non si passa per i numeri per definire le coppie ordinate e nemmeno c'entra l'ordinamento (che casomai è introdotto
avendo già la nozione di coppia ordinata). Non so bene quale sia il modo attualmente seguito dai teorici degli insiemi per farlo,quello che ricordo di avere visto (molti anni fa ...) è $(a,b):={{a},{a,b}}$.
Fatte le coppie si possono fare le terne, le quaterne e così via.
Per parlare di $n$-uple, con $n$ generico credo invece che ci vogliano gli interi.
Provo a dirti quel poco che mi sembra di ricordare dall'insiemistica...
Come ha detto Vicious, la coppia ordinata di prima coordinata $ a $ e seconda coordinata $ b $ ovvero $ (a,b) $ è l'insieme $ {{a},{a,b}} $ . La tripla ordinata $ (a,b,c) $ è una coppia ordinata che ha come prima coordinata la coppia $ (a,b) $ e come seconda coordinata $ c $ ovvero $ ((a,b),c) $ e così via ricorsivamente si definiscono la 4-upla $ (((a,b),c),d) $, la 5-upla etc etc ...
Un insieme ordinato $ (S,<=) $ è una coppia ordinata che ha come prima coordinata un insieme non vuoto e come seconda coordinata una relazione d'ordine definita in $ S $ (cioè una relazione binaria in $ S $ che sia riflessiva, asimmetrica e transitiva) e che di solito si indica col simbolo $ <= $ ( ma non è obbligatorio )
Come ha detto Vicious, la coppia ordinata di prima coordinata $ a $ e seconda coordinata $ b $ ovvero $ (a,b) $ è l'insieme $ {{a},{a,b}} $ . La tripla ordinata $ (a,b,c) $ è una coppia ordinata che ha come prima coordinata la coppia $ (a,b) $ e come seconda coordinata $ c $ ovvero $ ((a,b),c) $ e così via ricorsivamente si definiscono la 4-upla $ (((a,b),c),d) $, la 5-upla etc etc ...
Un insieme ordinato $ (S,<=) $ è una coppia ordinata che ha come prima coordinata un insieme non vuoto e come seconda coordinata una relazione d'ordine definita in $ S $ (cioè una relazione binaria in $ S $ che sia riflessiva, asimmetrica e transitiva) e che di solito si indica col simbolo $ <= $ ( ma non è obbligatorio )
Chiaro. E per quanto riguarda la questione degli "elementi ripetuti"?
Quale sarebbe la "questione degli elementi ripetuti" ?
Nota peraltro che $(a,a)={{a},{a,a}}={{a},{a}}={{a}}$.
Nota peraltro che $(a,a)={{a},{a,a}}={{a},{a}}={{a}}$.
@ViciousGoblin: intendo questo
Questa definizione è corretta? Se lo fosse, allora avrei bisogno di conoscere come è possibile che un insieme (che notoriamente non ha elementi ripetuti al suo interno) ne possa avere.
"tano_91":
n-upla: insieme ordinato che può avere elementi uguali al suo interno.
Questa definizione è corretta? Se lo fosse, allora avrei bisogno di conoscere come è possibile che un insieme (che notoriamente non ha elementi ripetuti al suo interno) ne possa avere.
"tano_91":
@ViciousGoblin: intendo questo
[quote="tano_91"]n-upla: insieme ordinato che può avere elementi uguali al suo interno.
Questa definizione è corretta? Se lo fosse, allora avrei bisogno di conoscere come è possibile che un insieme (che notoriamente non ha elementi ripetuti al suo interno) ne possa avere.[/quote]
Questa definizione non è corretta, anche se probabilmente non vuole essere veramente una definizione. Si può affermare
sicuramente che un insieme NON è ordinato e quindi la coppia ordinata $(a,b)$ (prendo $n=2$ per semplicità)
NON è l'insieme ${a,b}$. Probabilmente la locuzione sopra vuole richiamare un'idea intuitiva di "insieme ordinato"
distinta da quella di "insieme non ordinato" che è quella usuale di insieme (idea primitiva quest'ultima di cui non si danno definizioni).
Una coppia ordinata è qualcosa di cui si può "estrarre" un primo elemento e un secondo elemento, eventualmente
eguali - probabilmente, per quello che serve a te (cosa studi ?) ti puoi accontentare dell'idea intuitiva
(come hai già dovuto fare per la nozione di insieme), anche se a livello teorico, come detto nei messaggi precedenti, si possono fornire modi rigorosi di introdurre la coppia a partire dalla nozione di insieme.
Ho capito come si fa a introdurre la nozione di insieme ordinato a partire da quello di insieme.
Quello che mi interessa ora è capire come sia possibile che la coppia ordinata possa avere elementi uguali nonostante sia un insieme (e un insieme non ha elementi uguali!).
Quello che mi interessa ora è capire come sia possibile che la coppia ordinata possa avere elementi uguali nonostante sia un insieme (e un insieme non ha elementi uguali!).
In realtà il problema viene aggirato usando le parentesi 
Come ti hanno fatto notare l'insieme $ (a,a)={{a}} $ ha un solo elemento, ovvero $ {a} $, però tu capisci benissimo che si vuole intendere $ (a,a) $ perchè c'è la doppia parentesi graffa, cioè $ {{a}} $ è un "singoletto di singoletto" . Se rifletti bene su questa definizione $ (a,b)={{a}, {a,b}} $ capirai che il singoletto $ {a} $ significa "fra questi due oggetti $ a $ è il primo", è un artificio per mettere ordine dove l'ordine non c'è, meglio di così non mi so spiegare 
Come ti hanno fatto notare l'insieme $ (a,a)={{a}} $ ha un solo elemento, ovvero $ {a} $, però tu capisci benissimo che si vuole intendere $ (a,a) $ perchè c'è la doppia parentesi graffa, cioè $ {{a}} $ è un "singoletto di singoletto" . Se rifletti bene su questa definizione $ (a,b)={{a}, {a,b}} $ capirai che il singoletto $ {a} $ significa "fra questi due oggetti $ a $ è il primo", è un artificio per mettere ordine dove l'ordine non c'è, meglio di così non mi so spiegare
"ViciousGoblin":
Quale sarebbe la "questione degli elementi ripetuti" ?
Nota peraltro che $(a,a)={{a},{a,a}}={{a},{a}}={{a}}$.
Per quanto detto, risulterebbe che la coppia ordinata costituita da elementi uguali deve avere come elemento un insieme che contenga due elementi uguali, quindi non mi sembra che il problema sia stato aggirato...
Mettiamoci in R^3.
Ci interessa il punto (5,1,5). Mica lo togliamo di mezzo, no?
Abbiamo vagamente in testa che bisogna tenere presenti sia i "numeri" che "l'ordine" col quale si presentano. Cartesianamente, abbiamo tre assi coordinati, che sono "diversi" tra loro. Insomma, abbiamo qualcosa del tipo:
Primo elemento: 5
Secondo elemento: 1
Terzo elemento: 5
Come rappresentiamo questa cosa nel linguaggio insiemistico? Certo che NON è l'insieme {5,1,5}, visto che questo insieme è (uguale a) {1,5} e non contiene né "primo" né "secondo" elemento! Ovviamente {1,5}={5,1}.
Uhm, ci serve qualcosa di più che un insieme per poter parlare di (5,1,5).
Scartiamo quella "definizione" che tu hai riportato (pienamente d'accordo, naturalmente, con Vicious Goblin. Anche sul fatto che, probabilmente, non volesse essere una definizione ).
Il "trucco" è già stato detto. Vedi Vicious Goblin e perplesso.
Prova a scrivere, se ti interessa, chi è l'insieme che individua (rappresenta) (5,1,5).
Ci interessa il punto (5,1,5). Mica lo togliamo di mezzo, no?
Abbiamo vagamente in testa che bisogna tenere presenti sia i "numeri" che "l'ordine" col quale si presentano. Cartesianamente, abbiamo tre assi coordinati, che sono "diversi" tra loro. Insomma, abbiamo qualcosa del tipo:
Primo elemento: 5
Secondo elemento: 1
Terzo elemento: 5
Come rappresentiamo questa cosa nel linguaggio insiemistico? Certo che NON è l'insieme {5,1,5}, visto che questo insieme è (uguale a) {1,5} e non contiene né "primo" né "secondo" elemento! Ovviamente {1,5}={5,1}.
Uhm, ci serve qualcosa di più che un insieme per poter parlare di (5,1,5).
Scartiamo quella "definizione" che tu hai riportato (pienamente d'accordo, naturalmente, con Vicious Goblin. Anche sul fatto che, probabilmente, non volesse essere una definizione
).Il "trucco" è già stato detto. Vedi Vicious Goblin e perplesso.
Prova a scrivere, se ti interessa, chi è l'insieme che individua (rappresenta) (5,1,5).
Dunque.
Credo di aver colto dai vostri messaggi che il trucco stia nel dire che [tex]\{a, a, a, …, a\} = \{a\}[/tex] e quindi, ritornando a quanto detto da ViciousGoblin:
Utilizzando questa proprietà, risulterebbe applicando la definizione di terna ordinata che:
[tex](5, 1, 5) = ((5, 1), 5) = \{\{(5, 1)\}, \{(5, 1), 5\}\} = \{\{\{\{5\}, \{5, 1\}\}\}, \{\{\{5\}, \{5, 1\}\}, 5\}\}[/tex]
(cioè l'insieme che ha per elementi due insiemi: il primo è l'insieme che ha per unico elemento la coppia [tex](5, 1)[/tex] e il secondo è l'insieme che ha per elementi la coppia [tex](5, 1)[/tex] e l'elemento [tex]5[/tex]).
Dal punto di vista insiemistico non sembrerebbero esserci problemi, dato che applicando la definizione non compaiono insiemi con elementi ripetuti; il problema prima si era posto perché la coppia ordinata [tex](a, a)[/tex] aveva al suo interno un insieme con elementi uguali...
Quindi se ho capito bene la definizione di n-upla non c'entra niente con il fatto che possano esserci elementi ripetuti, mentre invece c'entra soltanto l'ordinamento dei suoi elementi?
Se così fosse, la ripetizione altro non sarebbe che una conseguenza della proprietà di cui ho parlato all'inizio di questo messaggio, ho compreso bene?
Credo di aver colto dai vostri messaggi che il trucco stia nel dire che [tex]\{a, a, a, …, a\} = \{a\}[/tex] e quindi, ritornando a quanto detto da ViciousGoblin:
"ViciousGoblin":
Nota peraltro che $(a,a)={{a},{a,a}}={{a},{a}}={{a}}$.
Utilizzando questa proprietà, risulterebbe applicando la definizione di terna ordinata che:
[tex](5, 1, 5) = ((5, 1), 5) = \{\{(5, 1)\}, \{(5, 1), 5\}\} = \{\{\{\{5\}, \{5, 1\}\}\}, \{\{\{5\}, \{5, 1\}\}, 5\}\}[/tex]
(cioè l'insieme che ha per elementi due insiemi: il primo è l'insieme che ha per unico elemento la coppia [tex](5, 1)[/tex] e il secondo è l'insieme che ha per elementi la coppia [tex](5, 1)[/tex] e l'elemento [tex]5[/tex]).
Dal punto di vista insiemistico non sembrerebbero esserci problemi, dato che applicando la definizione non compaiono insiemi con elementi ripetuti; il problema prima si era posto perché la coppia ordinata [tex](a, a)[/tex] aveva al suo interno un insieme con elementi uguali...
Quindi se ho capito bene la definizione di n-upla non c'entra niente con il fatto che possano esserci elementi ripetuti, mentre invece c'entra soltanto l'ordinamento dei suoi elementi?
Se così fosse, la ripetizione altro non sarebbe che una conseguenza della proprietà di cui ho parlato all'inizio di questo messaggio, ho compreso bene?
Bene l'esercizio 
Sinceramente, non mi è chiaro cosa chiedi in queste due domande. Se vuoi provare a precisare, o a ridire diversamente, grazie.
O se altri, più svegli di me (facile!), han capito, rispondano pure. Ne hanno facoltà
"tano_91":
Quindi se ho capito bene la definizione di n-upla non c'entra niente con il fatto che possano esserci elementi ripetuti, mentre invece c'entra soltanto l'ordinamento dei suoi elementi?
Se così fosse, la ripetizione altro non sarebbe che una conseguenza della proprietà di cui ho parlato all'inizio di questo messaggio, ho compreso bene?
Sinceramente, non mi è chiaro cosa chiedi in queste due domande. Se vuoi provare a precisare, o a ridire diversamente, grazie.
O se altri, più svegli di me (facile!), han capito, rispondano pure. Ne hanno facoltà
Allora, all'inizio del topic io ho buttato lì una possibile definizione di n-upla (http://it.wikipedia.org/wiki/Ennupla, terza riga) che si è poi rivelata "da scartare".
Il motivo per cui è "da scartare" è che l'unica cosa che individua in modo univoco una n-upla è l'ordinamento dei suoi elementi (e quindi non c'entra nulla il fatto che i suoi elementi si possano ripetere o meno)?
Se la prima risposta è affermativa, allora il fatto che gli elementi si possano ripetere è dovuto unicamente al fatto che [tex]\{a, a, …, a\} = \{a\}[/tex]? Quest'ultimo è infine il "trucco" di cui si parlava prima?
Il motivo per cui è "da scartare" è che l'unica cosa che individua in modo univoco una n-upla è l'ordinamento dei suoi elementi (e quindi non c'entra nulla il fatto che i suoi elementi si possano ripetere o meno)?
Se la prima risposta è affermativa, allora il fatto che gli elementi si possano ripetere è dovuto unicamente al fatto che [tex]\{a, a, …, a\} = \{a\}[/tex]? Quest'ultimo è infine il "trucco" di cui si parlava prima?
"tano_91":
[quote="ViciousGoblin"]Quale sarebbe la "questione degli elementi ripetuti" ?
Nota peraltro che $(a,a)={{a},{a,a}}={{a},{a}}={{a}}$.
Per quanto detto, risulterebbe che la coppia ordinata costituita da elementi uguali deve avere come elemento un insieme che contenga due elementi uguali, quindi non mi sembra che il problema sia stato aggirato...[/quote]Se vuoi, puoi vederla così:
[tex](a,a) = \{\{a\}\}[/tex]
[tex](a,a,a) = \{\{\{a\}\},\{\{\{a\}\},a\}\}[/tex]
...
Non mi sembra ci siano ambiguità. Per esempio [tex]\{\{\{a\}\}\}[/tex] coincide con la coppia [tex](\{a\},\{a\})[/tex].
Sarebbe interessante chiedersi se ogni insieme costruito in questo modo è una [tex]n[/tex]-pla.
O almeno come si fa a riconoscere [tex]n[/tex] "a occhio" data una [tex]n[/tex]-pla scritta secondo la definizione.
"Martino":
[tex](a,a) = \{\{a\}\}[/tex]
[tex](a,a,a) = \{\{\{a\}\},\{\{\{a\}\},a\}\}[/tex]
Mi stai quindi confermando che [tex]\{a, a, …, a\} = \{a\}[/tex]?
"Martino":
Sarebbe interessante chiedersi se ogni insieme costruito in questo modo è una [tex]n[/tex]-pla.
O almeno come si fa a riconoscere [tex]n[/tex] "a occhio" data una [tex]n[/tex]-pla scritta secondo la definizione.
Si potrebbe quindi dire che in un certo senso ciò che distingue n-uple da insiemi (usando la notazione insiemistica) sia la presenza di un certo numero di parentesi graffe opportunamente combinate?
"tano_91":
[quote="Martino"]
[tex](a,a) = \{\{a\}\}[/tex]
[tex](a,a,a) = \{\{\{a\}\},\{\{\{a\}\},a\}\}[/tex]
Mi stai quindi confermando che [tex]\{a, a, …, a\} = \{a\}[/tex]?[/quote]Sì certo.
Si potrebbe quindi dire che in un certo senso ciò che distingue n-uple da insiemi (usando la notazione insiemistica) sia la presenza di un certo numero di parentesi graffe opportunamente combinate?Non capisco cosa intendi con "distinguere n-ple da insiemi". Le n-ple sono insiemi.
"Martino":
Non capisco cosa intendi con "distinguere n-ple da insiemi". Le n-ple sono insiemi.
È stata una mia improprietà lessicale, intendevo dire "individuare quei particolari insiemi che vanno sotto il nome di n-uple".
Cmq adesso è tutto chiaro, vi ringrazio per gli aiuti!
"tano_91":
Ho capito come si fa a introdurre la nozione di insieme ordinato a partire da quello di insieme.
Quello che mi interessa ora è capire come sia possibile che la coppia ordinata possa avere elementi uguali nonostante sia un insieme (e un insieme non ha elementi uguali!).
Il fatto è che la coppia di elementi $a$ e $b$ NON è l'insieme di elementi $a$ e $b$ (e nessuno tra $a$ e $b$ è elemento -in senso insiemistico - della coppia).
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