Differenza tra due funzioni
Gentili ragazzi,
sapreste dirmi perchè queste due funzioni: $(x-1)^(1/3)$ e radice cubica di $(x-1)$ ammettono dominio diverso? La prima ammette Dominio x>=1, la seconda $R$. Non sarebbero uguali come funzioni? Grazie
sapreste dirmi perchè queste due funzioni: $(x-1)^(1/3)$ e radice cubica di $(x-1)$ ammettono dominio diverso? La prima ammette Dominio x>=1, la seconda $R$. Non sarebbero uguali come funzioni? Grazie
Risposte
Molto gentile, grazie.. In realtà questa cosa sta scritta sul mio libro universitario.. Nel calcolo del dominio della radice cubica di (x-1) subito mi ero imbattuta nel fatto che fosse tutto $R$, ma c'è scritto esplicitamente di non confondere la radice cubica di (x-1) con $(x-1)^(1/3)$ perchè hanno domini diversi. Sarà sicuramente un errore. Approfitto per chiedere come si fa a digitare la radice cubica, non ci sono riuscita 
e poi come faccio a spostare questo messaggio nel topic "analisi"?
e poi come faccio a spostare questo messaggio nel topic "analisi"?
Perfetto, grazie.
La questione è spinosa e non c'è uno standard comune.
Il problema è il seguente.
Poniamo \(\phi (x):=x^{1/3}\) ed \(f(x):=x^{m/n}\).
Posto che il dominio di \(\phi\) sia \(\mathbb{R}\), allora per ogni frazione del tipo \(\frac{m}{n}\) equivalente a \(\frac{1}{3}\), si dovrebbe avere \(\operatorname{Dom} f = \operatorname{Dom} \phi\), perché non vogliamo che il dominio della potenza dipenda dalla frazione che rappresenta la frazione r.m.t. \(\frac{1}{3}\).
Ora scegliamo \(\frac{m}{n} = \frac{2}{6}\); in tal caso, per le proprietà delle potenze potremmo scrivere:
\[
f(x) = \left( x^{1/6}\right)^2
\]
e quindi, ammettendo nel dominio di \(f\) elementi negativi, potremmo arrivare a scrivere cose del tipo:
\[
f(x) = \left( (-1)^{1/6}\right)^2
\]
con la potenza più interna che non ha alcun significato (perché \(x\mapsto x^{1/6}\) è definita per \(x\geq 0\)).
Conseguentemente, se si vogliono conservare le proprietà delle potenze cui siamo abituati, si deve restringere il dominio delle potenze ad esponente razionale positivo sempre agli \(x\geq 0\).
Conseguentemente alcuni autori introducono la notazione \(\sqrt[n]{x}\) per denotare la funzione radice aritmetica, definita in \([0,\infty[\) per \(n\) pari ed in \(\mathbb{R}\) per \(n\) dispari, in contrapposizione alla poteza ad esponente razionale \(x^{1/n}\) che è sempre e comunque definita in \([0,\infty[\).
Il problema è il seguente.
Poniamo \(\phi (x):=x^{1/3}\) ed \(f(x):=x^{m/n}\).
Posto che il dominio di \(\phi\) sia \(\mathbb{R}\), allora per ogni frazione del tipo \(\frac{m}{n}\) equivalente a \(\frac{1}{3}\), si dovrebbe avere \(\operatorname{Dom} f = \operatorname{Dom} \phi\), perché non vogliamo che il dominio della potenza dipenda dalla frazione che rappresenta la frazione r.m.t. \(\frac{1}{3}\).
Ora scegliamo \(\frac{m}{n} = \frac{2}{6}\); in tal caso, per le proprietà delle potenze potremmo scrivere:
\[
f(x) = \left( x^{1/6}\right)^2
\]
e quindi, ammettendo nel dominio di \(f\) elementi negativi, potremmo arrivare a scrivere cose del tipo:
\[
f(x) = \left( (-1)^{1/6}\right)^2
\]
con la potenza più interna che non ha alcun significato (perché \(x\mapsto x^{1/6}\) è definita per \(x\geq 0\)).
Conseguentemente, se si vogliono conservare le proprietà delle potenze cui siamo abituati, si deve restringere il dominio delle potenze ad esponente razionale positivo sempre agli \(x\geq 0\).
Conseguentemente alcuni autori introducono la notazione \(\sqrt[n]{x}\) per denotare la funzione radice aritmetica, definita in \([0,\infty[\) per \(n\) pari ed in \(\mathbb{R}\) per \(n\) dispari, in contrapposizione alla poteza ad esponente razionale \(x^{1/n}\) che è sempre e comunque definita in \([0,\infty[\).
O.O Sono stata illuminata! Grazie! O.O
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