Differenza di due quadrati nel semianello dei naturali

[Erdos1]

La proposizione : "Nel semianello dei naturali, ogni cubo è differenza di due quadrati." è vera oppure falsa?
Se è falsa mi sapete fornire un controesempio?
Grazie

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ricorda questo fatto molto simpatico: [tex]\sum_{i=1}^n i^3 = (\sum_{i=1}^n i)^2[/tex], che puoi dimostrare per induzione.

[NightKnight1]

"Martino":[tex]\sum_{i=1}^n i^3 = (\sum_{i=1}^n i)^2[/tex]

Che figata!

[Gi81]

"Erdos":La proposizione : "Nel semianello dei naturali, ogni cubo è differenza di due quadrati." è vera oppure falsa?
Se è falsa mi sapete fornire un controesempio?
Grazie

E' sempre vera.

Infatti dato un cubo $n^3$, con $n in N$,

se consideri $p=(n^2+n)/2 $ , $ q=(n^2-n)/2$ [ovviamente $p,q in N$ .... Perchè....]

e hai che $p^2-q^2= (p+q)(p-q)= n^2*n=n^3 $

Dunque $AA n in N$ $EE p,q in N$ t.c. $n^3=p^2-q^2$

c.v.d.




Il trucco era partire dalla differenza dei quadrati
$p^2-q^2$
che si trasforma in
$(p+q)(p-q)$
e imporre che

$p+q= n^2$
$p-q =n$

da cui si ricava quello che ho scritto prima, cioè

$p=(n^2+n)/2$ , $q=(n^2-n)/2$

[gugo82]

"Martino":Ricorda questo fatto molto simpatico: [tex]$\sum_{i=1}^n i^3 = \left( \sum_{i=1}^n i \right)^2$[/tex], che puoi dimostrare per induzione.

Non l'avevo mai notato... Divertente!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

@NightKnight & Gugo: mi fa piacere che vi piaccia. E' abbastanza sorprendente in effetti

[Erdos1]

Grazie mille a Martino per lo spunto e complimenti a Gi8 per la chiarezza e completezza!!

[gugo82]

@ Martino: Ma è una cosa che funziona "magicamente" solo per gli esponenti [tex]$2$[/tex] e [tex]$3$[/tex], oppure funziona anche in altri casi?

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"gugo82":@ Martino: Ma è una cosa che funziona "magicamente" solo per gli esponenti [tex]$2$[/tex] e [tex]$3$[/tex], oppure funziona anche in altri casi?

Non ne ho proprio idea, non ci ho mai pensato..

[killing_buddha]

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