DIagrammi di pullback

[killing_buddha]

Remark. La nozione di pullback nasce naturalmente dall'idea di immagine inversa generalizzata. Consideriamo una coppia di frecce di [tex]\mathbf C[/tex] che punta a uno stesso oggetto, $f:A\to C\leftarrow B:g$. Il {pullback}, o {prodotto fibrato} di $A$ e $B$ rispetto alle frecce $f,g$ consiste di una coppia di frecce da un oggetto $\Pi$, $p_1:\Pi\to A$, $p_2:\Pi\to B$ tali che $f\circ p_1=g\circ p_2$, universale con questa propriet\`a: ci\`o significa che, comunque data una coppia di frecce $z_1:Z\to A$, $z_2:Z\to B$, tali che $f\circ z_1=g\circ z_2$, esiste un'unica $u:Z\to \Pi$ che fattorizza $z_1,z_2$ via $p_1,p_2$. Di solito l'oggetto $\Pi$ si indica con $A\times_C B$. La propriet\`a universale enunciata equivale alla commutativit\`a del diagramma

[tex]\xymatrix{
Z \ar@/_10pt/[ddr]_{z_1} \ar@/^10pt/[drr]^{z_2} \ar@{.>}[dr]|{u} & & \\
& A\times_C B \ar[d]_(0.4){p_1} \ar[r]^(0.6){p_2} & B \ar[d]^{g}\\
& A \ar[r]_{f} & C
}[/tex].[/list:u:3eyp5hgs]
Se una coppia di frecce $f:A\to C\leftarrow B:g$ ammette un prodotto fibrato, il quadrato commutativo


[tex]\xymatrix{
A\times_C B \ar[r]\ar[d] & B\ar[d]^g \\
A\ar[r]_f & C
}[/tex][/list:u:3eyp5hgs]
si dice {diagramma di prodotto fibrato}.
Proposizione. Consideriamo il diagramma commutativo


[tex]\xymatrix{
F \ar[r]^{f'}\ar[d]_{h''} & E\ar[r]^{g'}\ar[d]^{h'} & D\ar[d]^h \\
A \ar[r]_f & B\ar[r]_g & C
}[/tex][/list:u:3eyp5hgs]
Allora, se il quadrato sinistro \`e un diagramma di pullback, il quadrato destro lo \`e se e solo se lo \`e il rettangolo esterno (ossia se e solo se $(F,f',h'')$ \`e il pullback di $g\circ f : A\to C\leftarrow E : h\circ g'$).

La dimostrazione e' un esercizio di diagram chiasing: mi sono accorto pero' che queste ipotesi sono insufficienti, e si deve aggiungere il fatto che la freccia $g'$ sia un monomorfismo, per mostrare che, laddove il rettangolo esterno e il quadrato destro siano quadrati di prodotto fibrato, lo e' anche il quadrato sinistro. Sono suffragato, da questa osservazione, dall'Hilton-Stammbach, (A course in Homological Algebra, GTM4, Springer Verlag).
Vi chiedo conferma di questo, dato che Hilton e Stammbach sono gli unici a inserire questa ipotesi aggiuntiva. Forse che esiste un modo di evitarla aggirando la necessita' di avere una freccia mono in quel punto?

[killing_buddha]

Non riesco a capire la tua enunciazione della UMP del pullback, dovresti dire che per ogni oggetto e coppia di frecce da quell'oggetto, esiste blabla, non che per ogni oggetto esiste una terna di frecce...
E come vorresti usare, di preciso, il Lemma di Yoneda? E' bene ricordarlo (in uno dei suoi enunciati): per ogni funtore controvariante [tex]\mathfrak F[/tex] da [tex]\mathbf C[/tex] in [tex]\mathbf{Sets}[/tex] esiste una biiezione tra le trasformazioni naturali tra [tex]\mathfrak F[/tex] e [tex]\text{Hom}(-,X)[/tex] e l'insieme [tex]\mathfrak F(X)[/tex]. In simboli

[tex]\mathbf{Hom}(\mathfrak F,\text{Hom}(-,X))\cong \mathfrak F(X)[/tex]

Da cio' discende che, se [tex]Y[/tex] e' un oggetto di [tex]\mathbf C[/tex], si ha l'isomorfismo [tex]\mathbf{Hom}(\text{Hom}(-,Y),\text{Hom}(-,X))\cong \mathfrak \text{Hom}(X,Y)[/tex], ossia si ottiene la piena fedelta' del funtore [tex]\mathrm{h}:\mathbf C\times \mathbf C^{\text{op}}\to \mathbf{Sets}[/tex].

[Lord K]

"Martino":Secondo me se non c'è qualche validissima ragione per l'esistenza di quella freccia allora quella freccia in generale non esiste. Perché non vedo alcun modo di procedere che non sia solo costruttivo.

Infatti solo graficamente sono in vicolo cieco da tutto il meriggio.

[Lord K]

"killing_buddha":Non riesco a capire la tua enunciazione della UMP del pullback, dovresti dire che per ogni oggetto e coppia di frecce da quell'oggetto, esiste blabla, non che per ogni oggetto esiste una terna di frecce...
E come vorresti usare, di preciso, il Lemma di Yoneda? E' bene ricordarlo (in uno dei suoi enunciati): per ogni funtore controvariante [tex]\mathfrak F[/tex] da [tex]\mathbf C[/tex] in [tex]\mathbf{Sets}[/tex] esiste una biiezione tra le trasformazioni naturali tra [tex]\mathfrak F[/tex] e [tex]\text{Hom}(-,X)[/tex] e l'insieme [tex]\mathfrak F(X)[/tex]. In simboli

[tex]\mathbf{Hom}(\mathfrak F,\text{Hom}(-,X))\cong \mathfrak F(X)[/tex]

Da cio' discende che, se [tex]Y[/tex] e' un oggetto di [tex]\mathbf C[/tex], si ha l'isomorfismo [tex]\mathbf{Hom}(\text{Hom}(-,Y),\text{Hom}(-,X))\cong \mathfrak \text{Hom}(X,Y)[/tex], ossia si ottiene la piena fedelta' del funtore [tex]\mathrm{h}:\mathbf C\times \mathbf C^{\text{op}}\to \mathbf{Sets}[/tex].

il metodo è sostanzialmente lo stesso nell'enunciarlo, logicamente non abbiamo differenze.

Per quanto riguarda Yoneda pensavo mediante l'identificazione della categoria ove risiedono [tex]Z[/tex] e [tex]Z'[/tex] con quella dei morfismi [tex]Hom(C^{op},\mathbf{Sets})[/tex] di trovare una gabbola per identificare in qualche modo una freccia per poi ribaltarla nuovamente sulla categoria stessa.