Diagramma di Hasse

[wino_7]

Salve a tutti sto preparando un esame di Matematica discreta ed ho difficoltà nella soluzione di questo esercizio.

Disegnare il diagramma di Hasse del reticolo dei sottogruppi del gruppo $ ZZ_18 = ZZ // 18 ZZ $ degli interi modulo 18

Allora i divisori di 18 sono :

0
1
2
3
6
9
[/list:u:17rmmp2b]
ma non so in quale maniera disporli, confido nel vostro aiuto.

[gugo82]

S'intende che [tex]$\mathbb{Z}_{18}$[/tex] è dotato della somma, che lo munisce della struttura di gruppo, vero?

Ad ogni modo, in [tex]$\mathbb{Z}_{18}$[/tex] vale l'inverso del teorema di Lagrange e, di più, per ogni divisore [tex]$d$[/tex] di [tex]$18$[/tex] esiste un unico sottogruppo avente ordine [tex]$d$[/tex].
Non è difficile vedere che i sottogruppi di [tex]$\mathbb{Z}_{18}$[/tex] sono i seguenti:

- [tex]$\langle 0\rangle =\{ 0\}$[/tex] di ordine [tex]$1$[/tex],
- [tex]$\langle 9\rangle =\{ 0,9\}$[/tex] di ordine [tex]$2$[/tex],
- [tex]$\langle 6\rangle =\{ 0,6,12\}$[/tex] ([tex]$=\langle 12\rangle$[/tex]) di ordine [tex]$3$[/tex],
- [tex]$\langle 3\rangle =\{ 0,3,6,9,12,15\}$[/tex] ([tex]$=\langle 15\rangle$[/tex]) di ordine [tex]$6$[/tex],
- [tex]$\langle 2\rangle =\{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16\}$[/tex] ([tex]$=\langle m\rangle$[/tex], con [tex]$m=4,8,10,14,16$[/tex]) di ordine [tex]$9$[/tex],
- [tex]$\langle 1\rangle =\mathbb{Z}_{18}$[/tex] ([tex]$=\langle m\rangle$[/tex], ove [tex]$m=5,7,11,13,17$[/tex]) di ordine [tex]$18$[/tex];

le inclusioni sono evidenti:

- [tex]$\langle 0\rangle \subset \langle 9\rangle \subset \langle 3\rangle \subset \langle 1 \rangle $[/tex],

- [tex]$\langle 0\rangle \subset \langle 6\rangle \subset \langle 3\rangle \cap \langle 2\rangle \subset \langle 1 \rangle $[/tex];

questo dovrebbe bastare a disegnare il diagramma (che non so come si faccia in TeX, però).

Ovviamente ci saranno metodi più semplici che l'enumerazione dei sottogruppi... Ma perdonami, sono un povero analista.

[maurer]

@gugo: con il pacchetto xymatrix.

[tex]\xymatrix{ & \langle 1 \rangle \\ \langle 3 \rangle \ar@{-}[ur] & & \langle 2 \rangle \ar@{-}[ul] \\ \langle 9 \rangle \ar@{-} & & \langle 4 \rangle \ar@{-} \\ & & \langle 8 \rangle \ar@{-} \\ & \langle 0 \rangle \ar@{-}[uul] \ar@{-}[ur] }[/tex]

[gugo82]

@wino_7: Per i sottogruppi:

[tex]\xymatrix{ & {\langle 9\rangle} \ar@{-}[rr]& & \langle 3\rangle \ar@{-}[rr]& & \langle 1\rangle \\ {\langle 0 \rangle} \ar@{-}[ur] \ar@{-}[rr] & & \langle 6\rangle \ar@{-}[rr] \ar@{-}[ur] & & \langle 2 \rangle \ar@{-}[ur]& }[/tex]

e quindi per i divisori:

[tex]\xymatrix{ & 2 \ar@{-}[rr]& & 6 \ar@{-}[rr]& & 18 \\ 1 \ar@{-}[ur] \ar@{-}[rr] & & 3 \ar@{-}[rr] \ar@{-}[ur] & & 9 \ar@{-}[ur]& }[/tex]

@maurer: Grazie.
Come sono venuti?

[maurer]

Molto bene! Anche perché ha un senso, a differenza del mio. Probabilmente stasera ho bevuto qualcosa di cui non mi ricordo, per aver disegnato quella roba...