Determinazione sottogruppo. (permutazione)
Ragazzi vi prego di valutare ciò che scrivo di seguito è corretto o meno.
sia
$\alpha = (1,14,9,3)(2,13,10,5,8,7)(4,6,12,11,15)$
sia $G = <\alpha> $. Posto $H_1$=${\sigma^i in G | \sigma(1)=1}$. E
$H_2$=${\sigma^i in G | \sigma(2)=2}$. Determinare un sottogruppo proprio di G contente $H_1 uu H_2$.
Prima di tutto ho trovato che $|G|=60$ pertanto, devo trovare tutti gli elementi di G tali che lasciano fisso 1 per H1 e lasciano fisso 2 per $H_2$.
Ho considerato , per trovare $H_1$ , il ciclo (1,14,9,3) constatando che $(1,14,9,3)^4=id$ e dunque lascia fisso 1.
$H_1 = { \sigma^i in G | i = 4k con k in ZZ}$ e con un analogo ragionamento ottengo che $H_2 = { \sigma^j in G | j = 6k con k in ZZ}$.
Pertanto $H_1 uu H_2 ={ \sigma ^i | i = 4k oppure j = 6k}$.
Noto subito che $H_1 uu H_2$ non è un gruppo in quanto non è chiuso rispetto alla composizione di permutazioni.
Tuttavia , noto che i e j sono multipli di due.
pertanto se considero l'insieme $H = { \sigma^i in G | i è pari}$ posso dare su esso una struttura di gruppo.
Inoltre $H_1 uu H_2 sub H$ (poichè i e j sono entrambi pari). Pertanto ho trovato il gruppo H contenente $H_1 uu H_2 $.
Grazie per una vostra eventuale risposta.
sia
$\alpha = (1,14,9,3)(2,13,10,5,8,7)(4,6,12,11,15)$
sia $G = <\alpha> $. Posto $H_1$=${\sigma^i in G | \sigma(1)=1}$. E
$H_2$=${\sigma^i in G | \sigma(2)=2}$. Determinare un sottogruppo proprio di G contente $H_1 uu H_2$.
Prima di tutto ho trovato che $|G|=60$ pertanto, devo trovare tutti gli elementi di G tali che lasciano fisso 1 per H1 e lasciano fisso 2 per $H_2$.
Ho considerato , per trovare $H_1$ , il ciclo (1,14,9,3) constatando che $(1,14,9,3)^4=id$ e dunque lascia fisso 1.
$H_1 = { \sigma^i in G | i = 4k con k in ZZ}$ e con un analogo ragionamento ottengo che $H_2 = { \sigma^j in G | j = 6k con k in ZZ}$.
Pertanto $H_1 uu H_2 ={ \sigma ^i | i = 4k oppure j = 6k}$.
Noto subito che $H_1 uu H_2$ non è un gruppo in quanto non è chiuso rispetto alla composizione di permutazioni.
Tuttavia , noto che i e j sono multipli di due.
pertanto se considero l'insieme $H = { \sigma^i in G | i è pari}$ posso dare su esso una struttura di gruppo.
Inoltre $H_1 uu H_2 sub H$ (poichè i e j sono entrambi pari). Pertanto ho trovato il gruppo H contenente $H_1 uu H_2 $.
Grazie per una vostra eventuale risposta.
Risposte
Secondo me è giusto, credo anche di non sbagliare se dico che il gruppo $H$ da te trovato è proprio $$ Ciao.
grazie del commento
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