Determinazione di sottogruppi [chiarimenti]

[duombo]

Salve ragazzi,

se in un esercizio mi viene chiesto di determinare i sottogruppi di $(ZZ_8,+)$
io l'ho risolto in questo modo:

secondo il th di Lagrange inverso, dato che $(ZZ_8,+)$ ha ordine 8, i suoi sottogruppi saranno quelli che avranno cardinalità pari ad un divisore di 8
quindi se mi scrivo tutti i sottogruppi che trovo, ovvero

$<2> := {2,4,6,8}$
$<3> := {3,6,1,4,1......}$
$<4> := {4,8,.....}$
$<5> := {5,2,7,4,1,6,3,8}$
$<6> := {6,4,2,8}$
$<7> := {7,6,5,4,3,2,1,8}$

posso quindi stabilire che i sottogruppi di $ZZ_8$ sono 4 perchè sono 4 sono i divisori di 8 e questi sottogruppi sono $,<2>,<5>,ZZ_8$

ho ragionato nel modo corretto?

[Lorin1]

Quando cerchi i sottogruppi del gruppo additivo $ZZ_8$, ragiona così:
Dal teorema di Lagrange abbiamo che se $H$ è sottogruppo di G allora $o(H)|o(G)$ (attenzione a non confondere il concetto di ordine con quello di cardinalità, che è insiemistico), quindi nel nostro caso, i divisori di 8 sono: 1,2,4,8. Quelli che avranno ordine 8 sono i generatori del gruppo, e poichè $ZZ_8$ è ciclico allora possiede almeno un elemento che lo genera, in questo vanno cercati tra i numeri coprimi con l'ordine, cioè 1,3,5,7; infatti con un pò di calcoli puoi notare che:

$<1>\sim<3>\sim<5>\sim<7>\simZZ_8$

mentre per i restanti hai $o(<2>)=o(<6>)=4 , o(<4>)=2$

Di solito è questa l'analisi che si fa quando si ricercano i sottogruppi di $ZZ_n$. Secondo me è errato dire che i sottogruppi sono 4, magari puoi dire che alcuni coincidono, ma dire che sono 4 forse è troppo superficiale.

[duombo]

grazie mille per l'aiuto,
penso di aver capito, quindi nel mio caso posso dire che ho trovato 2 sottogruppi di ordine 4, 1 sottogruppo di ordine 2 e i restanti sottogruppi (che hanno ordine 8) sono anche generatori di $ZZ_8$

giusto?

[Lorin1]

Si tolto quello banale che sarebbe $<0>$ il discorso è quello.
Ricordati quando fai questi esercizi che i generatori in $ZZ_n$ sono i coprimi con l'ordine del gruppo.