Determinare un isomorfismo $G\to A_4$
Buonasera ragazzi. Dovrei determinare un isomorfismo $G\to A_4$, dove $A_4$ è il gruppo alterno di ordine $4$ e
\[G=\langle a,b|a^3=b^2=(ba)^3=1\rangle\]
Non ho idee su come cominciare. Qualche suggerimento?
Se riuscissi a dimostrare che $|G|=12$, CREDO, potrei fare così: sceglierei $\sigma =\phi(a)$ e $\tau=\phi(b)$ in $A_4$ in modo tale che risultino soddisfatte le identità
\[\sigma^3=\tau^2=(\tau\sigma)^3=1 \]
ed ottenere un omomorfismo; inoltre $\phi$ risulterebbe essere surgettivo (dal momento $A_4$ è generato da una qualsiasi coppia di suoi elementi aventi periodi $2$ e $3$) e quindi, essendo $|G|=|A_4|$, $phi$ sarebbe isomorfismo.
\[G=\langle a,b|a^3=b^2=(ba)^3=1\rangle\]
Non ho idee su come cominciare. Qualche suggerimento?
Se riuscissi a dimostrare che $|G|=12$, CREDO, potrei fare così: sceglierei $\sigma =\phi(a)$ e $\tau=\phi(b)$ in $A_4$ in modo tale che risultino soddisfatte le identità
\[\sigma^3=\tau^2=(\tau\sigma)^3=1 \]
ed ottenere un omomorfismo; inoltre $\phi$ risulterebbe essere surgettivo (dal momento $A_4$ è generato da una qualsiasi coppia di suoi elementi aventi periodi $2$ e $3$) e quindi, essendo $|G|=|A_4|$, $phi$ sarebbe isomorfismo.
Risposte
Mi correggo: non avevo notato che $G$ ha cardinalità 12 per ipotesi...pensate che il mio procedimento sia corretto?
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