Determinare Ultime Cifre di Un Numero
Ciao Ragazzi Vorrei chiedervi un aiuto riguardo il seguente problema
ovvero determinare le ultime cifre di un numero scritto sotto forma di potenza.
C'e' un metodo? magari sfruttando le congruenze
Prendiamo ad esempio il numero 7^1996 come faccio a determinare le ultime due cifre?
ovvero determinare le ultime cifre di un numero scritto sotto forma di potenza.
C'e' un metodo? magari sfruttando le congruenze
Prendiamo ad esempio il numero 7^1996 come faccio a determinare le ultime due cifre?
Risposte
Le ultime due cifre dovrebbero essere $01$.
wizard mi spiegheresti con quale metodo le hai determinate?
Determinare le ultime due cifre significa risolvere
$7^(1996)\equivr(\mod100)$
e dovrebbe essere chiaro perché.
Ad esempio $3356$, riducendolo modulo 100, diviene 56.
Analogamente, se ti chiede l'ultima cifra, devi ridurre modulo 10, le ultime 3 modulo mille.
Per il problema ti consiglio di osservare che $7^4=2401$ che vale $1$ modulo $100$
$7^(1996)\equivr(\mod100)$
e dovrebbe essere chiaro perché.
Ad esempio $3356$, riducendolo modulo 100, diviene 56.
Analogamente, se ti chiede l'ultima cifra, devi ridurre modulo 10, le ultime 3 modulo mille.
Per il problema ti consiglio di osservare che $7^4=2401$ che vale $1$ modulo $100$
Grazie ^^ mi e' tutto abbastanza chiaro cio' che hai scritto
Volevo chiederti, hai sfruttato il fatto che 7^4 vale 1 modulo 100 e quindi hai concluso che le ultime due cifre di 7^4k sono 01, ma perche' hai scelto subito il 7^4? o meglio l'hai scelto rifacendoti a qualche teorema?
come dovrei comportarmi invece nel caso di un 7^2009 ?
Volevo chiederti, hai sfruttato il fatto che 7^4 vale 1 modulo 100 e quindi hai concluso che le ultime due cifre di 7^4k sono 01, ma perche' hai scelto subito il 7^4? o meglio l'hai scelto rifacendoti a qualche teorema?
come dovrei comportarmi invece nel caso di un 7^2009 ?
"M.C.D.":
Grazie ^^ mi e' tutto abbastanza chiaro cio' che hai scritto
Volevo chiederti, hai sfruttato il fatto che 7^4 vale 1 modulo 100 e quindi hai concluso che le ultime due cifre di 7^4k sono 01, ma perche' hai scelto subito il 7^4? o meglio l'hai scelto rifacendoti a qualche teorema?
come dovrei comportarmi invece nel caso di un 7^2009 ?
Il principio è lo stesso... usa semplicemente le proprietà delle potenze...
"M.C.D.":
Volevo chiederti, hai sfruttato il fatto che 7^4 vale 1 modulo 100 e quindi hai concluso che le ultime due cifre di 7^4k sono 01
Esattamente
"M.C.D.":
ma perche' hai scelto subito il 7^4?
Ho semplicemente fatto i primi casi, e il 4 era quello fortunatissimo.
Per intenderci, se al 13 ancora non ero arrivato a nulla di buono, smettevo e andavo a fare due passi...
"M.C.D.":
come dovrei comportarmi invece nel caso di un 7^2009 ?
Beh facile: $7^(2009)$ sarebbe $7*7^(2008)$ ma siccome in $\mathbb{Z}_(100)$ ho che $7^(2008)$ vale $1$, allora rimango solo con $7$.
Formalmente:
$7^(2009)\equiv7*7^(2008)\equiv7*1\equiv7 (\mod100)$
La risposta è 7.
Se avessi avuto $7^(2011)$, la risposta era $43$ come puoi (altrimenti chiedi) facilmente verificare.
Ciao!
Quindi:
$7^(2011)\equiv7^3 * 7^(2008)(\mod100)$
ora $7^(2008)$ abbiamo detto essere 1 in modulo 100
quindi rimane $7^(3)$ che termina con 43
e' corretto?
$7^(2011)\equiv7^3 * 7^(2008)(\mod100)$
ora $7^(2008)$ abbiamo detto essere 1 in modulo 100
quindi rimane $7^(3)$ che termina con 43
e' corretto?
Sì, è così.
Ciao!
Ciao!
Se posso fare un appunto tutto deriva dal fatto che se $gcd(a,b)=1$ allora:
$a^(phi(b)) \equiv 1 mod (b)$
dove $phi(b)$ è la funzione di Eulero ed è il numero di interi coprimi con $b$ e minori di $b$. Che è il teorema di Fermat.
$a^(phi(b)) \equiv 1 mod (b)$
dove $phi(b)$ è la funzione di Eulero ed è il numero di interi coprimi con $b$ e minori di $b$. Che è il teorema di Fermat.
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