Determinare sottogruppi ciclici di un insieme

[claw91]

Salve, vorrei proporre la mia risoluzione di un esercizio e una domanda riguardo ad una delle richieste che non sono riuscito a soddisfare.

Ecco la traccia: Sull'insieme G = Z_2 x Z_4 è assegnata la legge di composizione interna * così definita:

( a , b ) * ( c, d) = ( a + c, b + d )

A) verificare che G è un gruppo abeliano
B) determinare gli ordini di tutti gli elementi di G
C) stabilire se G è ciclico
D) determinare i sottogruppi ciclici di G

Ed ecco la ma risoluzione dei punti a, b e c

A) Ho verificato, e lo sono, che * fosse associativa e commutativa e che esistano, ed esistono, elemento neutro ( la coppia ( 0 , 0 ) ) e l'inverso ( la coppia ( -a , -b ) ) .

B) Ho determinato gli ordini di G, utilizzando la formula del minimo comune multiplo tra gli ordini, ovvero:

( |0| , |0| ) = 1
( |0| , |1| ) = 1 = m.c.m. ( |0|, |1| ) = m.c.m. ( 1,4 ) = 4
( |0| , |2| ) = 1 = m.c.m. ( |0|, |2| ) = m.c.m. ( 1,2 ) = 2
( |0| , |3| ) = 1 = m.c.m. ( |0|, |3| ) = m.c.m. ( 1,4 ) = 4
( |1| , |0| ) = 1 = m.c.m. ( |1|, |0| ) = m.c.m. ( 2,1 ) = 2
( |1| , |1| ) = 1 = m.c.m. ( |1|, |1| ) = m.c.m. ( 2,4 ) = 4
( |1| , |2| ) = 1 = m.c.m. ( |1|, |2| ) = m.c.m. ( 2,2 ) = 2
( |1| , |3| ) = 1 = m.c.m. ( |1|, |3| ) = m.c.m. ( 2,4 ) = 4

C ) G non ciclico in quanto 2 e 4 non sono primi tra loro

Avrei dunque bisogno di una mano per il punto D) : come si determinano i sottogruppi? ( tra l'altro il punto D) parla di sottogruppi ciclici, ma i sottogruppi in esame sarebbero ciclici solo se, in questo caso, G fosse a sua volta ciclico. )

Quindi:

- E' corretta la risoluzione che ho proposto dei punti A) B) e C) ?
- Nel caso lo fossero, è possibile determinare i sottogruppi di un insieme non necessariamente ciclico?
- Se sì, come si procederebbe in questo caso? Cambierebbe qualcosa nella procedura se G fosse ciclico e , di conseguenza, lo fossero anche tutti i suoi sottogruppi ?

Spero di essere stato chiaro nelle richieste, vi ringrazio comunque in anticipo.

[vict85]

Penso che il tuo problema sia più teorico che pratico. Cos'è un sottogruppo ciclico? E' un sottogruppo generato da un solo elemento. Quindi cosa devi fare per risolvere il problema?

E poi ogni gruppo ha sottogruppi ciclici, tanto per incominciare ${1}$ è banalmente ciclico. Tieni conto che generalmente non è l'unico sottogruppo ciclico.

P.S: un gruppo che ha tutti i sottogruppi propri ciclici non è necessariamente ciclico e tanto meno lo è un qualsiasi gruppo con sottogruppi ciclici.

[claw91]

A parte il gruppo ciclico banale, è evidente che ce ne sono altri, altrimenti non verrebbero richiesti tutti i sottogruppi ciclici;

Il problema è che non ho proprio capito praticamente come si determinano: se ci rifacessimo al mio caso sicuramente afferrerei al volo: un esempio aiuta sempre :-)

[vict85]

"claw91":A parte il gruppo ciclico banale, è evidente che ce ne sono altri, altrimenti non verrebbero richiesti tutti i sottogruppi ciclici;

Il problema è che non ho proprio capito praticamente come si determinano: se ci rifacessimo al mio caso sicuramente afferrerei al volo: un esempio aiuta sempre

Ogni sottogruppo ciclico è generato da un elemento dell'insieme. Quindi basta considerare un sottogruppo ciclico per ogni elemento ed eliminare quelli che coincidono. Oppure prendere un elemento, considerare il suo sottogruppo ciclico generato e quindi passare ad un elemento del gruppo che non sia generatore del sottogruppo ciclico di prima.

[claw91]

vict85:[quote=claw91]A parte il gruppo ciclico banale, è evidente che ce ne sono altri, altrimenti non verrebbero richiesti tutti i sottogruppi ciclici;

Il problema è che non ho proprio capito praticamente come si determinano: se ci rifacessimo al mio caso sicuramente afferrerei al volo: un esempio aiuta sempre :-)

:roll: Ogni sottogruppo ciclico è generato da un elemento dell'insieme. Quindi basta considerare un sottogruppo ciclico per ogni elemento ed eliminare quelli che coincidono. Oppure prendere un elemento, considerare il suo sottogruppo ciclico generato e quindi passare ad un elemento del gruppo che non sia generatore del sottogruppo ciclico di prima.[/quote]

Risolto grazie mille per l'aiuto!