Determinare se un insieme è un gruppo
Ragazzi, avrei bisogno di una mano. è da qualche giorno che sto studiando algebra, per l'esattezza i gruppi. Ho anche appunti e fogli dati dal prof, ma non capisco come faccio a determinare se l'insieme è un gruppo o meno. L'esercizio è il seguente:
Abbiamo dato W := {5^m; m€ℤ}. Verificare se (W , × ) è un sottogruppo di (ℝ╲{0}, × ).
Abbiamo dato W := {5^m; m€ℤ}. Verificare se (W , × ) è un sottogruppo di (ℝ╲{0}, × ).
Risposte
Dunque, intanto dimostrare che un insieme sia un sottogruppo è molto più semplice che dimostrare che sia un gruppo (questa mia affermazione non è molto corretta sintatticamente ma il concetto è valido).
Ovvero, quando tu dimostri che A è sottogruppo di G, sapendo che G è gruppo sia per esempio già che in A vi sarà l' associatività.
Dunque il tuo problema è:
[tex]W := \{5^{m}; m \in \mathbb{Z} \}[/tex]
[tex](W , \times ) < (\mathbb{R} \setminus \{0\} , \times ).[/tex]
Dunque tu devi verificare che intanto W sia chiuso, ovvero che presi ogni 2 elementi in W la loro composizione (axb) sia ancora dentro W.
Poi devi dimostrare che ogni elemento di W abbia il proprio inverso sempre dentro W e infine che 1, ovvero l' elemento neutro della moltiplicazione sia in W.
Tutto questo si può riassumere (a te il compito di dimostrarlo) nel cosiddetto Teorema di caratterizzazione dei sottogruppi.
l' unica cosa che dobbiamo verificare è la seguente:
[tex]\forall x,y \in W, x \times y^{-1} \in W[/tex]
Prova a procedere e vediamo se ne tiri fuori qualcosa sennò ti do un altra spinta..
Ovvero, quando tu dimostri che A è sottogruppo di G, sapendo che G è gruppo sia per esempio già che in A vi sarà l' associatività.
Dunque il tuo problema è:
[tex]W := \{5^{m}; m \in \mathbb{Z} \}[/tex]
[tex](W , \times ) < (\mathbb{R} \setminus \{0\} , \times ).[/tex]
Dunque tu devi verificare che intanto W sia chiuso, ovvero che presi ogni 2 elementi in W la loro composizione (axb) sia ancora dentro W.
Poi devi dimostrare che ogni elemento di W abbia il proprio inverso sempre dentro W e infine che 1, ovvero l' elemento neutro della moltiplicazione sia in W.
Tutto questo si può riassumere (a te il compito di dimostrarlo) nel cosiddetto Teorema di caratterizzazione dei sottogruppi.
l' unica cosa che dobbiamo verificare è la seguente:
[tex]\forall x,y \in W, x \times y^{-1} \in W[/tex]
Prova a procedere e vediamo se ne tiri fuori qualcosa sennò ti do un altra spinta..
Allora, presi ogni 2 elementi mi sembra ci siamo. (prendendo i primi elementi che sono 5, 25, 125, 625 e moltiplicati arriviamo sempre ad un elemento interno). Il proprio inverso anche, dato che R comprende anche i numeri negativi. Manca però l'elemento neutro, l'1. Se la definizione fosse stata (W,x) < (R,x) allora ci sarebbe anche il numero 1. Riassumendo mi sembra che (W,x) NON sia un sottogruppo.
Giusto?
Giusto?
Intanto devo farti una piccola correzione:
Frase che sarebbe giusto sostituire con:
Il proprio inverso anche, dato che Z comprende anche i numeri negativi.
(a te sta spiegarmi perchè...)
e poi la tua conclusione è errata.
ma fai dei passaggi algebrici, e se proprio non ti piace il mio teorema di caratterizzazione (col quale faresti in un attimo) poniti le seguenti domande (in modo sintatticamente corretto):
Per ogni [tex]x,y \in W[/tex] :
[tex]x*y \in W[/tex] ?
esiste un elemento k di W tale che [tex]x*k =1[/tex] ?
1 è contenuto in W?
prova a risolvere ognuna di queste 3 domande, giustificando.
Il proprio inverso anche, dato che R comprende anche i numeri negativi.
Frase che sarebbe giusto sostituire con:
Il proprio inverso anche, dato che Z comprende anche i numeri negativi.
(a te sta spiegarmi perchè...)
e poi la tua conclusione è errata.
ma fai dei passaggi algebrici, e se proprio non ti piace il mio teorema di caratterizzazione (col quale faresti in un attimo) poniti le seguenti domande (in modo sintatticamente corretto):
Per ogni [tex]x,y \in W[/tex] :
[tex]x*y \in W[/tex] ?
esiste un elemento k di W tale che [tex]x*k =1[/tex] ?
1 è contenuto in W?
prova a risolvere ognuna di queste 3 domande, giustificando.
è vero scusa, ho avuto una svista. si l'1 è compreso, visto che 0€Z --> 5^0=1.
Come detto sopra, x*y € W per esempio (5^2)*(5^4)=(5^6) il quale è elemento di W
Sono del parere che esista un elemento k tale che x*k=1. Esempio (5^1)*(5^-1)=1
...ci siamo?
Come detto sopra, x*y € W per esempio (5^2)*(5^4)=(5^6) il quale è elemento di W
Sono del parere che esista un elemento k tale che x*k=1. Esempio (5^1)*(5^-1)=1
...ci siamo?
si.
ma direi invece di no.
con gli esempi non si dimostra niente, qiò che hai scritto può andare bene per chiarirti le idee, ma se vuoi dimostrare qualcosa sei ben lontano.
con gli esempi non si dimostra niente, qiò che hai scritto può andare bene per chiarirti le idee, ma se vuoi dimostrare qualcosa sei ben lontano.
....allora ti chiedo di mostrarmi come dovrei scrivere.
Devi dimostrare, come diceva giustamente Hop Frog, che
<<$AA x,y in W $ si ha che $ x*y^-1 in W$>>
Se dimostri questo, hai immediatamente che $(W, *)$ è sottogruppo di $(RR\\{0}, *)$ [con $*$ intendo la tradizionale moltiplicazione]
Prendiamo dunque $x$ e $y$ generici elementi di $W$. Essi saranno del tipo $x=5^a$, $y=5^b$, con $a,b in ZZ$.
Si tratta di dimostrare che $x*y^-1$ è del tipo $5^c$, sempre con $c in ZZ$
Poichè $y=5^b$, allora, per le proprietà delle potenze, $y^-1=$..... [a questo ci puoi arrivare]
Di conseguenza, sempre per le proprietà delle potenze, $x*y^-1=$.......
Tutto chiaro? Se hai altri dubbi chiedi pure
<<$AA x,y in W $ si ha che $ x*y^-1 in W$>>
Se dimostri questo, hai immediatamente che $(W, *)$ è sottogruppo di $(RR\\{0}, *)$ [con $*$ intendo la tradizionale moltiplicazione]
Prendiamo dunque $x$ e $y$ generici elementi di $W$. Essi saranno del tipo $x=5^a$, $y=5^b$, con $a,b in ZZ$.
Si tratta di dimostrare che $x*y^-1$ è del tipo $5^c$, sempre con $c in ZZ$
Poichè $y=5^b$, allora, per le proprietà delle potenze, $y^-1=$..... [a questo ci puoi arrivare]
Di conseguenza, sempre per le proprietà delle potenze, $x*y^-1=$.......
Tutto chiaro? Se hai altri dubbi chiedi pure
si, aspetta Gi8...
io avevo ben specificato che lui avrebbe dovuto mettere giù le cose formalmente (cosa che non ha fatto) però pensavo che avendo capito i ragionamenti avrebbe potuto farlo..
comunque anche se non usa il teorema "fast" ma lo fa punto per punto la dimostrazione è comunque logicamente valida.
io avevo ben specificato che lui avrebbe dovuto mettere giù le cose formalmente (cosa che non ha fatto) però pensavo che avendo capito i ragionamenti avrebbe potuto farlo..
comunque anche se non usa il teorema "fast" ma lo fa punto per punto la dimostrazione è comunque logicamente valida.
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