Determinare primi p tale che un polinomio ammetta una determinata radice

[steppox]

Salve ragazzi! Più che un aiuto spero di dovervi chiedere solo una conferma. Mi sto esercitando sui polinomi e vorrei sapere se ho svolto bene il seguente esercizio:

Determinare l’insieme T dei primi p tali che il polinomio $fp = x^3 − x^2 + bar(2)x +bar(1) ∈ Zp[x]$
ammetta $−bar(2)$ come radice. Per ogni p ∈ T, scrivere fp come prodotto di polinomi monici irriducibili
in Zp[x].

Innanzitutto ho calcolato $f(-bar(2))$:

$f(-bar(2))=-bar(8)-bar(4)-bar(4)+bar(1)=-bar(15)$

quello che mi serve adesso è trovare per quali primi p si ha:

$-bar(15)-=bar(0)(mod p)$ cioè $p|-bar(15)$

i p primi che dividono $-bar(15)$ sono 3 e 5, quindi $T={3,5}$

Adesso li scrivo come prodotto di polinomi monici irriducibili:
In Z3:
Dopo aver applicao Ruffini al polinomio di partenza ottengo:
$(x+bar(2))(x^2-bar(3)x+8)$
$(x^2-bar(3)x+8)$ è ancora scomponibile in Z3 ed applicando ancora Ruffini ottengo alla fine:
$(x+bar(2))(x-bar(1))(x-bar(2))$
che rappresenta il prodotto di polinomi monici irriducibili

In Z5 invece, dopo la prima scomposizione ottengo:
$(x+bar(2))(x^2-bar(3)x+8)$
$(x^2-bar(3)x+8)$ è irriducibile in Z5 e quindi quello scrito sopra è già fp scritto come polnomi monici irriducibili in Z5

E' corretto l'esercizio svolto in questo modo? Grazie a tutti in anticipo

[anto_zoolander]

È corretto.