Determinare polinomi di grado 5 in $Z_5[x]$

[gaten]

Come faccio a determinare i polinomi di grado 5 in $Z_5[x]$ che sono multipli di $x^4-bar4$. Inoltre come mai questi polinomi ammettono necessariamente una radice in $Z_5$???

[j18eos]

Io inizierei a scomporre \(x^4-4\) su \(\mathbb{Z}_5\) per rispondere alla seconda domanda!

Per rispondere alla prima domanda, mi sa che ti sei perso in un bicchiere d'acqua.

[gaten]

$x^4-4$

$bar (-4) in Z_5$ è uguale a $bar 1 in Z_5$ quindi: $x^4+1$

$(x^2+1)(x^2+1)$ è giusto?

[j18eos]

Applicando la regola del binomio di Newton che ottieni?

Se fossimo su \(\mathbb{R}\) come scomporresti? Ti faccio notare che \(2\) non è radice di \(x^4+1\) in \(\mathbb{Z}_5\) a differenza di \((x^2+1)^2\)!

[gaten]

"j18eos"::shock: Applicando la regola del binomio di Newton che ottieni?

Se fossimo su \(\mathbb{R}\) come scomporresti? Ti faccio notare che \(2\) non è radice di \(x^4+1\) in \(\mathbb{Z}_5\) a differenza di \((x^2+1)^2\)!

Perdonami, ma non riesco a capire. Io il polinomio posso riscriverlo così giusto:
$x^4+1$ ???

[j18eos]

Certo che sì; ma \(x^4+1\neq(x^2+1)^2\)!

Quello che ti volevo far notare è che \(x^4-4\) un polinomio differenza di quadrati, cosicché da vedere che esso non ammette radici in \(\mathbb{Z}_5\)!