Determinare le radici primitive dell'unità

[PaNicko]

Ciao, ho un problema con un esercizio che non riesco a risolvere.
L'esercizio è questo:
Determinare le radici primitive ottave dell'unità in $F19$
Dove per $F19$ intendo il campo$ ZZ/(19ZZ) $

Grazie in anticipo a chi saprà darmi una mano, saluti
Nicola.

[NightKnight1]

Devi cercare le radici del polinomio $f(X) = X^8 - 1 \in \mathbb{F}_19 [X]$.
Ora $f'(X) = 8 X^7$ è coprimo con $f$, quindi le $8$ radici di $f$ sono tutte semplici (ovviamente in una fissata chiusura algebrica $\bar{\mathbb{F}_19}$ del campo $\mathbb{F}_19$).

Ora si ricordi che il gruppo moltiplicativo del campo $\mathbb{F}_19$ ha ordine $\phi(19)=18$, quindi per il teorema di Lagrange $\forall alpha in \mathbb{F}_19 -{0}, \ alpha^18 = 1$. Ciò prova che ogni elemento non nullo di $\mathbb{F}_19$ è una radice $18$-esima dell'unità.

Ora provo che il polinomio $f$ ha solo ${1,-1}$ come radici in $\mathbb{F}_19$:
E' chiaro che $pm 1$ è una radice ottava dell'unità. Viceversa sia $omega \in \mathbb{F}_19$ una radice ottava, allora $omega$ è una radice dei due polinomi $X^8 -1 \ , \ X^18 -1$, allora per il teorema di Ruffini $X- omega$ è un divisore comune dei polinomi $X^8 -1 \ , \ X^18 -1$, e quindi $X-omega$ divide $MCD(X^8 -1, X^18 -1)=X^2 -1=(X-1)(X+1)$, quindi $omega = pm 1$.

[PaNicko]

Ok. Posso risolvere, in qualche modo, considerando le radici del prodotto di polinomi ciclotomici associati a $x^8-1$? Ovvero per il noto teorema che dice $x^n-1=\prod_{d|n} \Phi_d(x)$, dove $Phi_d(x)$ è il d-esimo polinomio ciclotomico?