Determinare la ragione per cui un teorema è valido
Ciao a tutti.
Dato un teorema $A$ è possibile determinare che la validità di $A$ è dovuta a determinate cause.
Mi spiego meglio usando un esempio.
La Juventus batte sempre l’Inter sia il nostro teorema $A$.
Analizzando il teorema $A$ evinco che ogni volta che le due squadre si sono incontrate e si incontreranno l’inter indossa e indosserà sempre la maglia bianca, ovvero la sua seconda maglia.
Ora posso elevare a teorema (?) la tesi che “ la Juventus batte l’inter se l’inter indossa la maglia bianca (a causa del fatto che indossa la maglia bianca)”.
Se affermo come falso che “ la Juventus batte l’inter se l’inter indossa la maglia bianca (a causa del fatto che indossa la maglia bianca)” dovrei provare che esiste o esisterà almeno una partita tra Juventus contro inter in cui l’inter non indossa la maglia bianca;
in assenza di almeno un contro esempio posso dunque affermare come teorema che
“ la Juventus batte l’inter se l’inter indossa la maglia bianca (a causa del fatto che indossa la maglia bianca)” ?
Pareri?
Dato un teorema $A$ è possibile determinare che la validità di $A$ è dovuta a determinate cause.
Mi spiego meglio usando un esempio.
La Juventus batte sempre l’Inter sia il nostro teorema $A$.
Analizzando il teorema $A$ evinco che ogni volta che le due squadre si sono incontrate e si incontreranno l’inter indossa e indosserà sempre la maglia bianca, ovvero la sua seconda maglia.
Ora posso elevare a teorema (?) la tesi che “ la Juventus batte l’inter se l’inter indossa la maglia bianca (a causa del fatto che indossa la maglia bianca)”.
Se affermo come falso che “ la Juventus batte l’inter se l’inter indossa la maglia bianca (a causa del fatto che indossa la maglia bianca)” dovrei provare che esiste o esisterà almeno una partita tra Juventus contro inter in cui l’inter non indossa la maglia bianca;
in assenza di almeno un contro esempio posso dunque affermare come teorema che
“ la Juventus batte l’inter se l’inter indossa la maglia bianca (a causa del fatto che indossa la maglia bianca)” ?
Pareri?
Risposte
La sola ripetizione di un evento non è una dimostrazione. Costituisce solamente una tendenza statistica. Insomma qualcosa che è vero con una certa approssimazione.
In matematica finché non esistono dimostrazioni pro o contro, non si può dire che qualcosa sia vero o falso.
In matematica finché non esistono dimostrazioni pro o contro, non si può dire che qualcosa sia vero o falso.
Non è propriamente così, scriviamolo in un altro modo.
Teorema 1. La Juventus vince sempre contro l'Inter.
Teorema 2. L'Inter indossa sempre la maglia bianca contro la Juventus.
Teorema 3. La Juventus batte sempre l'inter quando questa indossa la maglia bianca.
Dimostrazione. Dal Teorema 1 segue che la Juventus vince sempre, qualsiasi sia la sua maglia. Dunque vince anche quando l'Inter indossa la maglia bianca.
Questo assumendo validi i Teoremi 1. e 2.
Assumiamo ora validi i Teoremi 2. e 3.: possiamo con questi due dimostrare il Teorema 1., è un semplice esercizio.
Il problema è che il teorema 2. non è vero, e nemmeno il teorema 3., nel brutto mondo reale. E' purtroppo un semplice caso, non possiamo inferirlo dagli assiomi logici di base e quindi non funziona.
Spero sia più chiaro.
Teorema 1. La Juventus vince sempre contro l'Inter.
Teorema 2. L'Inter indossa sempre la maglia bianca contro la Juventus.
Teorema 3. La Juventus batte sempre l'inter quando questa indossa la maglia bianca.
Dimostrazione. Dal Teorema 1 segue che la Juventus vince sempre, qualsiasi sia la sua maglia. Dunque vince anche quando l'Inter indossa la maglia bianca.
Questo assumendo validi i Teoremi 1. e 2.
Assumiamo ora validi i Teoremi 2. e 3.: possiamo con questi due dimostrare il Teorema 1., è un semplice esercizio.
Il problema è che il teorema 2. non è vero, e nemmeno il teorema 3., nel brutto mondo reale. E' purtroppo un semplice caso, non possiamo inferirlo dagli assiomi logici di base e quindi non funziona.
Spero sia più chiaro.
Il Teorema 2: “l'Inter indossa sempre la maglia bianca contro la Juventus” è anche’esso vero.
Ricapitalo il tutto.
Teorema 1. La Juventus vince sempre contro l'Inter.
Dimostrato vero.
Teorema 2. L'Inter indossa sempre la maglia bianca contro la Juventus.
Dimostrato vero.
Teorema 3. La Juventus batte sempre l'inter se questa indossa la maglia bianca.
Dimostrazione per assurdo.
Assumiamo come vero la negazione della nostra tesi: non è vero che la Juventus batte sempre l'inter
se questa indossa la maglia bianca.
Questo implica una contraddizione con il teorema 1 oppure con il teorema 2, oppure con entrambi.
Da ciò si ha che è vero il teorema 3.
A questo punto non posso dire che tra le varie cause che determinano la sconfitta dell’inter vi è anche l’indossare la maglia bianca?
Ricapitalo il tutto.
Teorema 1. La Juventus vince sempre contro l'Inter.
Dimostrato vero.
Teorema 2. L'Inter indossa sempre la maglia bianca contro la Juventus.
Dimostrato vero.
Teorema 3. La Juventus batte sempre l'inter se questa indossa la maglia bianca.
Dimostrazione per assurdo.
Assumiamo come vero la negazione della nostra tesi: non è vero che la Juventus batte sempre l'inter
se questa indossa la maglia bianca.
Questo implica una contraddizione con il teorema 1 oppure con il teorema 2, oppure con entrambi.
Da ciò si ha che è vero il teorema 3.
A questo punto non posso dire che tra le varie cause che determinano la sconfitta dell’inter vi è anche l’indossare la maglia bianca?
No 
"Martino":
No
Almeno la dimostrazione per assurdo, inerente il teorema 3, è corretta?
Volendo sì ma per dimostrare il teorema 3 basta il teorema 1: se l'inter gioca contro la juve con la maglia bianca in particolare l'inter gioca contro la juve quindi per il teorema 1, perde.
Ok, grazie Martino, grazie Fink, grazie Victor85.
Un ultima cosa, la congiunzione se, in logica, non equivale a dire a causa?
Tipo se $a$ allora $b$ non equivale a dire se si verifica $ a $ si verifica $b$
per cui a causa di $ a $ si ha $ b $ ?
In pratica, pe farla breve, perchè non posso dire che tra le varie cause che determinano la sconfitta dell’inter vi è anche l’indossare la maglia bianca e cosa si può fare (o si dovrebbe fare) per imputare la sconfitta alla maglia bianca.
Un ultima cosa, la congiunzione se, in logica, non equivale a dire a causa?
Tipo se $a$ allora $b$ non equivale a dire se si verifica $ a $ si verifica $b$
per cui a causa di $ a $ si ha $ b $ ?
In pratica, pe farla breve, perchè non posso dire che tra le varie cause che determinano la sconfitta dell’inter vi è anche l’indossare la maglia bianca e cosa si può fare (o si dovrebbe fare) per imputare la sconfitta alla maglia bianca.
L'espressione "a causa di" non ha significato formale in logica. Prova ad esaminare il concetto di implicazione logica (che non è intuitivo come sembra): "se A allora B" è falso solo nel caso in cui A è vero e B è falso. Quindi per esempio "se 2=1 allora l'erba è verde" è vero perché l'erba è verde comunque, indipendentemente dal fatto che sia 2=1 o meno. Nel caso che proponi il colore della maglia rientra in altre sfere dell'essere umano, come la psicologia o l'arte.
Mi viene in mente una scena epica dei Simpson, con Lisa che dà a Homer un sasso che tiene lontani gli orsi. E' tipo così:
Homer: Come fai a dire che questo sasso tiene lontani gli orsi?
Lisa: Vedi forse orsi in giro?
... (Homer ci pensa) ...
Homer: Lisa, voglio comprare il tuo sasso.
Mi viene in mente una scena epica dei Simpson, con Lisa che dà a Homer un sasso che tiene lontani gli orsi. E' tipo così:
Homer: Come fai a dire che questo sasso tiene lontani gli orsi?
Lisa: Vedi forse orsi in giro?
... (Homer ci pensa) ...
Homer: Lisa, voglio comprare il tuo sasso.
Grazieee infiniteee
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