Determinare gli elementi del gruppo quoziente.
Buongiorno, ho un problema nel determinare gli elementi del gruppo quoziente.
In particolare, se considero i seguenti insiemi:
Mi viene chiesto di determinare gli elementi del gruppo quoziente $G/M$, per fare ciò, osservo
$|G|=81$, $|M|=9$ dal th. di Lagrange ho $|G/M|=|G|/|M|=81/9=9,$
dopodiché considero due elementi $xM, yM$ di $G/M,$ con $x,y in G,$ i quali coincidono quando
ossia
da questo punto in poi non so proseguire, mi potete dare qualche consiglio.
Ciao a presto.
In particolare, se considero i seguenti insiemi:
$G={$\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1+3b & d \\ 0 & 1 \end{vmatrix}, b,d \in \)$ZZ_9}$, $M={$\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & c \\ 0 & 1 \end{vmatrix}, c \in \)$2ZZ_9}.$
Mi viene chiesto di determinare gli elementi del gruppo quoziente $G/M$, per fare ciò, osservo
$|G|=81$, $|M|=9$ dal th. di Lagrange ho $|G/M|=|G|/|M|=81/9=9,$
dopodiché considero due elementi $xM, yM$ di $G/M,$ con $x,y in G,$ i quali coincidono quando
$xM=yM leftrightarrow x^(-1)y in M $
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1+3b & d \\ 0 & 1 \end{vmatrix}^{-1}\begin{vmatrix} 1+3c & f \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} (1+3b)^{-1}(1+3c) & f(1+3b)^{-1}-d\\ 0 & 1 \end{vmatrix}\in M \)
ossia
\(\displaystyle \begin{cases} [(1+3b)^{-1}(1+3c)]_{9}=[1]_{9} \\ [f(1+3b)^{-1}-d]_{9}=[2p]_9
\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases} [c]_{9}=_{9} \\ [f]_{9}=([2p]_9+[d]_9)[1+3b]_9
\end{cases}\)
\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases} [c]_{9}=_{9} \\ [f]_{9}=([2p]_9+[d]_9)[1+3b]_9
\end{cases}\)
da questo punto in poi non so proseguire, mi potete dare qualche consiglio.
Ciao a presto.
Risposte
Facendo due calcoli, osservo
$[f]_9=([2p]_9+[d]_9)[1+3b]_9leftrightarrow [f]_9=[2p+6pb+d+3db]_9$, cioè
$f-2p+6pb+d+3db=9k, k in ZZ leftrightarrow f+d-2p=3(3k-db-2pb)$, quindi
$f+d-2p=3k'$ per qualche $k' in ZZ.$
Allora $f+d-2p=3k' leftrightarrow [f+d]_3=[2p]_3 leftrightarrow [f]_3=[2p-d]_3.$
In particolare, la $[2p]_9 in 2ZZ_9$ quindi il rappresentate $2p in {0,2,4,6,8}$,
$2p=0$ si ha $[f]_3=[-d]_3=[3-d]_3$
se $d=0$ si ha $[f]_3=[0]_3$
se $d=1$ si ha $[f]_3=[2]_3$
se $d=2$ si ha $[f]_3=[1]_3$
Per $2p=0$ ho ottenuto tutte le classi di equivalenza modulo $3$, quindi
\(\displaystyle \begin{cases} [c]_9=_9, \\ [f]_3=[-d]_3, \end{cases} \)
In tal caso tutti gli elementi dell'insieme quoziente $G/M$ sono
\(\displaystyle \begin{Bmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M \end{Bmatrix}\)
Questo è il modo di procedere ?
$[f]_9=([2p]_9+[d]_9)[1+3b]_9leftrightarrow [f]_9=[2p+6pb+d+3db]_9$, cioè
$f-2p+6pb+d+3db=9k, k in ZZ leftrightarrow f+d-2p=3(3k-db-2pb)$, quindi
$f+d-2p=3k'$ per qualche $k' in ZZ.$
Allora $f+d-2p=3k' leftrightarrow [f+d]_3=[2p]_3 leftrightarrow [f]_3=[2p-d]_3.$
In particolare, la $[2p]_9 in 2ZZ_9$ quindi il rappresentate $2p in {0,2,4,6,8}$,
$2p=0$ si ha $[f]_3=[-d]_3=[3-d]_3$
se $d=0$ si ha $[f]_3=[0]_3$
se $d=1$ si ha $[f]_3=[2]_3$
se $d=2$ si ha $[f]_3=[1]_3$
Per $2p=0$ ho ottenuto tutte le classi di equivalenza modulo $3$, quindi
\(\displaystyle \begin{cases} [c]_9=_9, \\ [f]_3=[-d]_3, \end{cases} \)
In tal caso tutti gli elementi dell'insieme quoziente $G/M$ sono
\(\displaystyle \begin{Bmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M \end{Bmatrix}\)
Questo è il modo di procedere ?
Ho detto qualcosa di brutto 
Procedo a passo di formica: nella definizione di \(\displaystyle M\) cosa intendi con la scrittura \(\displaystyle2\mathbb{Z}_9\)?
Con $ZZ_9={[0]_9, [1]_9, [2]_9, [3]_9, [4]_9, [5]_9, [6]_9, [7]_9, [8]_9}$ invece
$2ZZ9={2[0]_9, 2[1]_9, 2[2]_9, 2[3]_9, 2[4]_9, 2[5]_9, 2[6]_9, 2[7]_9, 2[8]_9}={[0]_9, [2]_9, [4]_9, [6]_9, [8]_9}$
$2ZZ9={2[0]_9, 2[1]_9, 2[2]_9, 2[3]_9, 2[4]_9, 2[5]_9, 2[6]_9, 2[7]_9, 2[8]_9}={[0]_9, [2]_9, [4]_9, [6]_9, [8]_9}$
No, \(2\mathbb Z_9=\mathbb Z_9\)
No, mi sono espresso male nel precedente messaggio, comunque $2ZZ_9={[0]_9,[2]_9,[4]_9,[6]_9,[8]_9}.$
hydro capisco cosa vuoi dirmi, per esempio con $2[5]_9=[10]_9=[9+1]_9=[9]_9+[1]_9 \equiv_9[0]_9+[1]_9=[1]_9$
ma è stato definito $2ZZ_9$ in questo modo.
hydro capisco cosa vuoi dirmi, per esempio con $2[5]_9=[10]_9=[9+1]_9=[9]_9+[1]_9 \equiv_9[0]_9+[1]_9=[1]_9$
ma è stato definito $2ZZ_9$ in questo modo.
@Pasquale90 Secondo la tua definizione ha comunque ragione hydro...
E perché? semplicemente ho preso le classi "pari" in $ZZ_9$.
"Pasquale 90":
E perché? semplicemente ho preso le classi "pari" in $ZZ_9$.
\(2\mathbb Z_9\) è una cosa, "le classi pari" un'altra cosa.
Tra l'altro se per te \(2\mathbb Z_9=\{0,2,4,6,8\}\), ho una cattiva notizia: $M$ non è un sottogruppo.
In effetti hydro hai ragione, mi sono confuso, perché in un esercizio simile la prof. pose $2ZZ_6={bar{0},bar{2}, bar{4}},$ in tal caso $2ZZ6 ne ZZ6,$ comunque grazie per la giusta osservazione.
Alla fine per me questa parte deve dovrebbe
Da $ [2p]_9 in 2ZZ_9 $ ne segue $ 2p in I_9={0,1,2,3,4,5,6,7,8} $, faccio variare $2p$ in $I_9$
per $ 2p=0 $ si ha $ [f]_3=[-d]_3=[3-d]_3 $
se $ d=0 $ si ha $ [f]_3=[0]_3 $
se $ d=1 $ si ha $ [f]_3=[2]_3 $
se $ d=2 $ si ha $ [f]_3=[1]_3 $
Per $ 2p=0 $ ho ottenuto tutte le classi di equivalenza modulo $ 3 $, quindi
\( \displaystyle \begin{cases} [c]_9=_9, \\ [f]_3=[-d]_3, \end{cases} \)
In tal caso tutti gli elementi dell'insieme quoziente $ G/M $ sono
\( \displaystyle \begin{Bmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M \end{Bmatrix} \)
Va bene ?
Alla fine per me questa parte deve dovrebbe
"Pasquale 90":rimane invariata.
Facendo due calcoli, osservo
$ [f]_9=([2p]_9+[d]_9)[1+3b]_9leftrightarrow [f]_9=[2p+6pb+d+3db]_9 $, cioè
$ f-2p+6pb+d+3db=9k, k in ZZ leftrightarrow f+d-2p=3(3k-db-2pb) $, quindi
$ f+d-2p=3k' $ per qualche $ k' in ZZ. $
Allora $ f+d-2p=3k' leftrightarrow [f+d]_3=[2p]_3 leftrightarrow [f]_3=[2p-d]_3. $
Da $ [2p]_9 in 2ZZ_9 $ ne segue $ 2p in I_9={0,1,2,3,4,5,6,7,8} $, faccio variare $2p$ in $I_9$
per $ 2p=0 $ si ha $ [f]_3=[-d]_3=[3-d]_3 $
se $ d=0 $ si ha $ [f]_3=[0]_3 $
se $ d=1 $ si ha $ [f]_3=[2]_3 $
se $ d=2 $ si ha $ [f]_3=[1]_3 $
Per $ 2p=0 $ ho ottenuto tutte le classi di equivalenza modulo $ 3 $, quindi
\( \displaystyle \begin{cases} [c]_9=_9, \\ [f]_3=[-d]_3, \end{cases} \)
In tal caso tutti gli elementi dell'insieme quoziente $ G/M $ sono
\( \displaystyle \begin{Bmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M, \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}M \end{Bmatrix} \)
Va bene ?
Sinteticamente (e brevemente) \(\displaystyle2\mathbb{Z}_6\) è il sottogruppo di \(\displaystyle\mathbb{Z}_6\) generato da \(\displaystyle[2]_6\); questa è una notazione abbastanza usata, ma che può portare a fraintendimenti.
Fermo restando sul tuo primo posto, io proverei a calcolare esplicitamente \(\displaystyle[1+3d]_9^{-1}\)!
Fermo restando sul tuo primo posto, io proverei a calcolare esplicitamente \(\displaystyle[1+3d]_9^{-1}\)!
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