Determinare funzione ricorsiva
Determinare, se esistono, tutte le successioni \(\mathbf{a} :=\{a_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R}\) [2 RN, ???] tali che:
\[
\begin{cases}
a_0 = -2\\
a_1 = 1\\
a_n = 2 a_{n−1} + 4 a_{n−2} &\text{, per ogni } n\geq 2
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
a_0 = -2\\
a_1 = 1\\
a_n = 2 a_{n−1} + 4 a_{n−2} &\text{, per ogni } n\geq 2
\end{cases}
\]
Risposte
Tentativi tuoi?
Allora sto provando a dare l'esame di Algebra e Logica studiando sulle video-lezioni del professore, il problema è che non ci sono video-lezioni su esercizi o esempi di questo argomento. Molta teoria ma poca pratica purtroppo.
Potrei provare a ipotizzare cosa fare ma farei sicuramente un casino. Comunque quello che farei io:
partirei nel risolvere l'equazione ricorsiva x^2-2x-4=0 ottenendo x1=1+rad(5) e x2=1-rad(5)
poi qui già mi perdo un pò... non so cosa fare.
Come si risolvono in generale questo tipo di esercizi? sapreste spiegarmelo usando questo esercizio come esempio (mi servono solo come determinare le successioni ricorsive omogenee a coefficienti costanti). Grazie
inoltre a0=-2
Potrei provare a ipotizzare cosa fare ma farei sicuramente un casino. Comunque quello che farei io:
partirei nel risolvere l'equazione ricorsiva x^2-2x-4=0 ottenendo x1=1+rad(5) e x2=1-rad(5)
poi qui già mi perdo un pò... non so cosa fare.
Come si risolvono in generale questo tipo di esercizi? sapreste spiegarmelo usando questo esercizio come esempio (mi servono solo come determinare le successioni ricorsive omogenee a coefficienti costanti). Grazie
inoltre a0=-2
"aguero93":
Allora sto provando a dare l'esame di Algebra e Logica studiando sulle video-lezioni del professore, il problema è che non ci sono video-lezioni su esercizi o esempi di questo argomento. Molta teoria ma poca pratica purtroppo.
Ti ricordo che "pratica" e "teoria" non sono immiscibili, come acqua e olio: infatti, la "pratica" consiste nell'applicare la "teoria" e la "teoria" viene sempre in conseguenza di qualche "pratica".
Quindi conoscere bene la "teoria" non significa non riuscire a svolgere esercizi; anzi, significa riuscire a svolgerli (forse all'inizio più lentamente) riuscendo a giustificare tutti i passaggi.
"aguero93":
Potrei provare a ipotizzare cosa fare ma farei sicuramente un casino. Comunque quello che farei io:
partirei nel risolvere l'equazione ricorsiva x^2-2x-4=0 ottenendo x1=1+rad(5) e x2=1-rad(5)
Infatti, hai trovato la strada giusta.
Quindi non stai facendo casino... Ma, anche se lo stessi facendo, sarebbe del tutto normale.
Non penso che, qundo hai imparato a scrivere, già riuscivi a fare le "a" belle tonde o le "m" con le zampette giuste, no?
"aguero93":
poi qui già mi perdo un pò... non so cosa fare.
Come sei arrivato all'equazione caratteristica \(x^2-2x-4=0\)?
Usando la teoria, la quale ti assicura che la generica soluzione della ricorrenza si ottiene combinando linearmente soluzioni particolari "di tipo potenza", cioé nella forma \(\alpha_n =x^n\).
Una successione \(\mathbf{\alpha}=\{\alpha_n\}=\{x^n\}\) è soluzione della tua ricorsione solo se risulta:
\[
x^n = 2x^{n-1} + 4x^{n-2}
\]
il che accade solo se \(x=0\) (questa è una soluzione banale), oppure se:
\[
x^2=2x+4 \qquad \Leftrightarrow \qquad x^2-2x-4=0
\]
cioé se la base delle potenze soddisfa l'equazione caratteristica della ricorsione. Conseguentemente la generica soluzione della tua ricorsione è una cosa del tipo:
\[
a_n= C_1\ x_1^n + C_2\ x_2^n
\]
in cui \(x_1,x_2\) sono due radici (reali o complesse) distinte dell'equazione caratteristica \(x^2-2x-4=0\) associata alla ricorrenza.
Ora, tutto quello che devi fare per trovare la soluzione del problema è imporre che la generica soluzione soddisfi le due condizioni iniziali assegnate, i.e. \(a_0=-2\) (ho corretto anche sopra) ed \(a_1=1\), e determinare \(C_1,C_2\) risolvendo un sistema lineare.
Prova.
"aguero93":
Come si risolvono in generale questo tipo di esercizi? sapreste spiegarmelo usando questo esercizio come esempio (mi servono solo come determinare le successioni ricorsive omogenee a coefficienti costanti). Grazie
Quello illustrato sopra è il metodo generale, quindi non dovresti avere problemi nel caso di radici distinte.
Quando però le radici non sono distinte, cioé quando l'equazione caratteristica ha un'unica soluzione \(x_1\) di molteplicità due, la soluzione generica va cercata nella forma:
\[
a_n=C_1\ x_1^n + C_2\ n\ x_1^n\; .
\]
Ad esempio, prova a risolvere:
\[
\begin{cases}
a_0=0\\
a_1=2\\
a_n=4\ (a_{n-1}-a_{n-2}) &\text{, per } n\geq 2
\end{cases}
\]
e facci sapere.
P.S.: Se hai studiato le equazioni differenziali, puoi vedere la forte analogia che c'è tra i problemi ai valori iniziali per le ricorrenze lineari a coefficienti costanti ed i problemi di Cauchy per le EDO lineari a coefficienti costanti.
Questo non è casuale, ma deriva dal fatto che le ricorrenze sono una specie di "versione discetizzata" delle EDO.
allora credo di saperli risolvere adesso, scrivo la soluzione dell'esercizio da me proposto (con soluzioni distinte)
a0=−2
a1=1
an=2an−1+4an−2, per ogni n≥2
parto dal risolvere l'equazione ricorsiva quindi x^2=2x+4 => x^2-2x-4=0 => x1=1+rad(5); x2=1-rad(5)
an=c1*(1+rad(5))^n+c2(1-rad(5))^n
quindi imposto il sistema con le due equazioni:
1) c1+c2=-2
2)c1(1+rad(5))+c2(1-rad(5))=1
svolgendo il sistema trovo che c1=3/(2*rad(5))+1; e c2= -3/(2*rad(5))-1
quindi abbiamo il risultato:
an=(3/(2*rad(5))+1)*(1+rad(5))^n+(-3/(2*rad(5))-1)*(1-rad(5))^n
altro esercizio con soluzioni non distinte:
a0=0
a1=2
an=4(an-1 -an-2)
risolvo equazione ricorsiva x^2-4x+4=0 => x1=x2=2
allora an=c1*2^n+c2*n*2^n
imposto il sistema:
1)c1=0
2)c1*2+c2*2*1=2
svolgendo il sistema ottengo c1=0 e c2=1
quindi il risultato finale è:
an=1*n*2^n
grazie infinite gugo82 credo non potessi spiegare in modo più chiaro di cosi, penso di aver capito come svolgere questi esercizi. Grazie ancora
a0=−2
a1=1
an=2an−1+4an−2, per ogni n≥2
parto dal risolvere l'equazione ricorsiva quindi x^2=2x+4 => x^2-2x-4=0 => x1=1+rad(5); x2=1-rad(5)
an=c1*(1+rad(5))^n+c2(1-rad(5))^n
quindi imposto il sistema con le due equazioni:
1) c1+c2=-2
2)c1(1+rad(5))+c2(1-rad(5))=1
svolgendo il sistema trovo che c1=3/(2*rad(5))+1; e c2= -3/(2*rad(5))-1
quindi abbiamo il risultato:
an=(3/(2*rad(5))+1)*(1+rad(5))^n+(-3/(2*rad(5))-1)*(1-rad(5))^n
altro esercizio con soluzioni non distinte:
a0=0
a1=2
an=4(an-1 -an-2)
risolvo equazione ricorsiva x^2-4x+4=0 => x1=x2=2
allora an=c1*2^n+c2*n*2^n
imposto il sistema:
1)c1=0
2)c1*2+c2*2*1=2
svolgendo il sistema ottengo c1=0 e c2=1
quindi il risultato finale è:
an=1*n*2^n
grazie infinite gugo82 credo non potessi spiegare in modo più chiaro di cosi, penso di aver capito come svolgere questi esercizi. Grazie ancora
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