Determinare classi di equivalenza di una relazione
Salve ragazzi! Ho ancora bisogno del vostro aiuto! 
Sto approfondendo l'argomento delle relazioni di equivalenza e mi ritrovo di fronte al problema di come determinare una classe di equivalenza di una relazione! La prima parte dell'esercizio credo di averla capita.
Esercizio:
In $A = ZZ$ si consideri la relazione $R$ data da $nRm$ se e solo se $n^2-n = m^2-m$
Verificare che è una relazione di equivalenza e determinare le classi di equivalenza di $0$ e $-5$
Soluzione parziale:
Per provare che si tratti di una relazione di equivalenza procedo con la verifica delle 3 proprietà di una rel. di equivalenza: Riflessività, Simmetria, Transitività.
- Proprietà riflessiva: $nRn rArr n^2-n = n^2-n$
- Proprietà simmetrica: $nRm ^^ mRn rArr n^2-n = m^2-m ^^ m^2-m = n^2-n$
- Proprietà transitiva: $(nRm ^^ mRk rArr nRk) rArr n^2-n = m^2-m ^^ m^2-m = k^2-k rArr n^2-n = k^2-k$
Abbiamo dimostrato che $R$ è una relazione di equivalenza.
Adesso non so come determinare le classi di equivalenza $0$ e $-5$
Ci provo:
in generale una classe di equivalenza si determina con $[a] = {b in X | b ~ a}$
quindi per trovare le due classi $0$ e $-5$ richieste dall'esercizio scriverò:
$[0] = {n in ZZ | n ~ 0}$
$[-5] = {n in ZZ | n ~ (-5)}$
ma adesso? come imposto la relazione per determinare le classi?
Usando un linguaggio non matematico direi che la classe di equivalenza di $0$ è formata da tutti quei numeri che messi in relazione con $n$ danno come risultato appunto $0$. Ad esempio $n ~ 0$ lo scriverei come $n^2-n = 0$. Giusto? ma come determino gli altri elementi della classe?
Sto approfondendo l'argomento delle relazioni di equivalenza e mi ritrovo di fronte al problema di come determinare una classe di equivalenza di una relazione! La prima parte dell'esercizio credo di averla capita.
Esercizio:
In $A = ZZ$ si consideri la relazione $R$ data da $nRm$ se e solo se $n^2-n = m^2-m$
Verificare che è una relazione di equivalenza e determinare le classi di equivalenza di $0$ e $-5$
Soluzione parziale:
Per provare che si tratti di una relazione di equivalenza procedo con la verifica delle 3 proprietà di una rel. di equivalenza: Riflessività, Simmetria, Transitività.
- Proprietà riflessiva: $nRn rArr n^2-n = n^2-n$
- Proprietà simmetrica: $nRm ^^ mRn rArr n^2-n = m^2-m ^^ m^2-m = n^2-n$
- Proprietà transitiva: $(nRm ^^ mRk rArr nRk) rArr n^2-n = m^2-m ^^ m^2-m = k^2-k rArr n^2-n = k^2-k$
Abbiamo dimostrato che $R$ è una relazione di equivalenza.
Adesso non so come determinare le classi di equivalenza $0$ e $-5$
Ci provo:
in generale una classe di equivalenza si determina con $[a] = {b in X | b ~ a}$
quindi per trovare le due classi $0$ e $-5$ richieste dall'esercizio scriverò:
$[0] = {n in ZZ | n ~ 0}$
$[-5] = {n in ZZ | n ~ (-5)}$
ma adesso? come imposto la relazione per determinare le classi?
Usando un linguaggio non matematico direi che la classe di equivalenza di $0$ è formata da tutti quei numeri che messi in relazione con $n$ danno come risultato appunto $0$. Ad esempio $n ~ 0$ lo scriverei come $n^2-n = 0$. Giusto? ma come determino gli altri elementi della classe?
Risposte
Ciao darkfog 
L'esercizio direi che lo hai capito e la prima parte in cui provi che abbiamo una relazione di equivalenza è corretta.
Riguardo alla seconda, è giusto dire che una relazione di equivalenza di un elemento $a$ si determina con $[a] = \{b \in X | bRa\}$. Bisogna però stare attenti quando la si applica poiché nel tuo caso il valore che assegni ad $m$ va sostituito direttamente nella relazione, ossia:
L'esercizio direi che lo hai capito e la prima parte in cui provi che abbiamo una relazione di equivalenza è corretta.
Riguardo alla seconda, è giusto dire che una relazione di equivalenza di un elemento $a$ si determina con $[a] = \{b \in X | bRa\}$. Bisogna però stare attenti quando la si applica poiché nel tuo caso il valore che assegni ad $m$ va sostituito direttamente nella relazione, ossia:
[*:2xx78gfw]Per $m = 0$ dobbiamo vedere i valori tali per cui $n^2 - n = 0^2 - 0$;[/*:m:2xx78gfw]
[*:2xx78gfw]Per $m = -5$ dobbiamo vedere i valori tali per cui $n^2 - n = (-5)^2 - (-5)$.[/*:m:2xx78gfw][/list:u:2xx78gfw]
Risolvendo tali equazioni trovi tutti i valori delle classi di equivalenza richieste.
Spero di esserti stato d'aiuto intanto, in caso chiedi pure.
ciao onlyReferee ! Grazie mille per la risposta!!! 
Ora ho capito, almeno spero. Provo a determinare le classi di equivalenza. Ti prego di correggermi se dovessi sbagliare 
Una classe di equivalenza si denota con $[a] = {b in X | b ~ a}$
Per determinare le classi di equivalenza di $0$ e $-5$ della relazione $n^2-n = m^2-m$ procedo così:
$[0] = {n in ZZ | n ~ 0} rArr n^2-n = 0^2 - 0 rArr n(n-1)=0 rArr n=0, n=1$
Quindi la classe di equivalenza di $0$ è data da $[0] = {0, 1}$
Stesso procedimento per determinare la classe di $-5$:
$[-5] = {n in ZZ | n ~ (-5)} rArr n^2-n = (-5)^2 - (-5) rArr n^2-n-30 rArr n=-5, n=6$
La classe di equivalenza di $-5$ è data da $[-5] = {-5, 6}$
E' giusto?
Ora ho capito, almeno spero. Provo a determinare le classi di equivalenza. Ti prego di correggermi se dovessi sbagliare Una classe di equivalenza si denota con $[a] = {b in X | b ~ a}$
Per determinare le classi di equivalenza di $0$ e $-5$ della relazione $n^2-n = m^2-m$ procedo così:
$[0] = {n in ZZ | n ~ 0} rArr n^2-n = 0^2 - 0 rArr n(n-1)=0 rArr n=0, n=1$
Quindi la classe di equivalenza di $0$ è data da $[0] = {0, 1}$
Stesso procedimento per determinare la classe di $-5$:
$[-5] = {n in ZZ | n ~ (-5)} rArr n^2-n = (-5)^2 - (-5) rArr n^2-n-30 rArr n=-5, n=6$
La classe di equivalenza di $-5$ è data da $[-5] = {-5, 6}$
E' giusto?
Ciao darkfog
Perfetto così, benissimo.
Grazie a te, felice di esserti stato d'aiuto.
Perfetto così, benissimo.
Grazie a te, felice di esserti stato d'aiuto
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