Determinare cardinalità di un gruppo.

[Pasquale 90]

Buonasera mi si richiede di determinare la cardinalità del seguente sottogruppo $G$ di $GL(2,RR)$ dove \(\displaystyle G={\begin{vmatrix} a & b \\ -b & a \end{vmatrix} \ a,b \in \ R \:\ (a,b)\ne(0,0) }\)
Questa parte della teoria non mmi è molto chiara, in ogni caso dovrei determinare un'applicazione la quale risulti biettiva, cioè $f:(a,b) in RR-{0}timesRR-{0} to A in G$.
La seguente dovrebbe essere biettiva, infatti:
$(a,b), (a_1,b_1) in RR-{0}timesRR-{0} \:\ f((a,b))=f((a_1,b _1))$ per definizione si ha
\(\displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\ -b & a \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ -b_1 & a_1 \end{vmatrix} \) allora $a=a_1,\ b=b_1.$ Quindi $f $ è iniettiva.
Inoltre per come è stata definita, risulta essere anche suriettiva, quindi è biettiva.
Quindi $G$ è equipotente ad ($RR-{0}timesRR-{0})$.
A questo punto dico "perdonatemi se commetto errori gravi"
$RR-{0} $ è un insieme infinito, per cui lo è anche $RR-{0}timesRR-{0}$
quindi $G$ è equipotente ad un insieme infinto, pertanto $G$ è un insieme infinito.

Detto ciò, potrei rispondere alla domanda che mi viene fatta, semplicemente, osservando che l'insieme $G$ risulta essere infinito, poiché le matrici che lo definiscono, hanno per entrate elementi di $RR$, dove quest'ultimo è un insieme infinito.

[solaàl]

Esiste un solo insieme infinito?

[Pasquale 90]

No.