Determinanti e unità di anelli
ciao a tutti, dovrei dimostrare questo fatto:
sia A un anello commutativo e R l'anello delle matrici nxn a valori in A.
Una matrice è un'unita di R se e solo se il suo determinante è un'unità di A.
La prima implicazione è banale.
Per la seconda sono riuscito a dimostrare che $\forall a \in A, \exists M,N \in R t.c. det(M)=a, det(N)=a^-1$ e quindi $det(MN)=1$ ma questo non è sufficiente a dire che N sia proprio l'inversa di M.
Potete aiutarmi?
sia A un anello commutativo e R l'anello delle matrici nxn a valori in A.
Una matrice è un'unita di R se e solo se il suo determinante è un'unità di A.
La prima implicazione è banale.
Per la seconda sono riuscito a dimostrare che $\forall a \in A, \exists M,N \in R t.c. det(M)=a, det(N)=a^-1$ e quindi $det(MN)=1$ ma questo non è sufficiente a dire che N sia proprio l'inversa di M.
Potete aiutarmi?
Risposte
Se leggi la dimostrazione del fatto che una matrice a coefficienti in un campo è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo ti accorgerai che l'unico punto in cui viene usato che siamo su un campo (e non su un anello commutativo qualsiasi) è quando si inverte il determinante.
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