Descrizione Ideali Anello Quoziente

[Edex1]

Salve ragazzi,
stavo cercando di fare questo esercizio e volevo sapere se le conclusioni che ho tratto sono esatte:

Consideriamo $f := x^4 - x^2 -12 in QQ[x]$ e sia $J$ l'ideale generato da questo polinomio in $QQ[x]$. Si consideri il quoziente $(QQ[x])/J$ e se ne descrivano gli ideali, specificando quali sono massimali.

Io ho seguito questo approccio:
Considero $\varphi$ l'omorfismo suriettivo da $QQ[x]$ in $(QQ[x])/J$ che associa ad ogni polinomio la sua classe di equivalenza.
Sia $I$ ideale di $(QQ[x])/J$ allora $\varphi^(-1)(I)$ è un ideale di $QQ[x]$, quindi è principale. Sia $p(x)$ il generatore di questo ideale, allora $\varphi(p(x))$ è generatore dell'ideale $I$.
E' di questo passaggio che non sono del tutto sicuro, io l'ho giustificato così:

Sia $q(x) in I$ allora esiste $g(x) in \varphi^(-1)(I)$ tale che $\varphi(g(x)) = q(x)$, ma $\varphi^(-1)(I)$ è principale, quindi:
$g(x) = p(x) \cdot s(x) rightarrow q(x) = \varphi(g(x)) = \varphi(p(x)) \cdot \varphi(s(x))$ e quindi ogni polinomio in I è multiplo di $\varphi(p(x))$. Quindi $I$ è principale.

Giusto?

[Epimenide93]

A occhio direi che va tutto bene.

[Edex1]

Perfetto grazie mille!