Descrizione e analisi di gruppi quoziente

[Andrea902]

Buonasera!

Sono alle prese con l'esericizio:
"Descrivere ed analizzare il gruppo quoziente di:
- $(ZZ_12,+)$ rispetto al sottogruppo $H={bar0,bar4,bar8}$;
- $(RR,+)$ rispetto al sottogruppo $ZZ$;
- $(RRtext{*},*)$ rispetto ai suoi due sottogruppi ${1,-1}$ e $(RR^+,*)$"

Vi propongo le linee-guida della traccia risolutiva in mio possesso relativamente ai primi due quesiti (che sono quelli dove ho più dubbi):

- Si trova che $O(((ZZ_12,+))/H)=4$ e gli elementi del gruppo quoziente sono: $H={bar0,bar4,bar8}$, $bar1+H={bar5,bar9,bar1}$, $bar2+H={bar2,bar6,bar10}$, $bar3+H={bar3,bar7,bar11}$. Si calcola l'ordine di ciascun elemento [questa parte l'ho modificata, perciò ditemi se è corretta!]: $2*(bar2+H)=bar4+H=H$ quindi $bar2+H$ ha ordine 2; $4*(bar3+H)=bar12+H=H$ quindi $bar3+H$ ha ordine 4; $4*(bar1+H)=bar4+H=H$ quindi $bar1+H$ ha ordine 4; il testo prosegue dicendo: "... pertanto il gruppo è ciclico". Ma quale gruppo? Il gruppo quoziente?

- Risulta che $ZZ$ è un sottogruppo normale di $(RR,+)$ a causa dell'abelianità di $(RR,+)$. Ora c'è una parte buia (!) che riporto:

Se $x inRR$, il laterale di $x$ rispetto a $ZZ$ è $x+ZZ$; due elementi di $RR$ determinano lo stesso laterale se e solo se la loro differenza sta in $ZZ$. In ogni laterale determinato da un certo elemento $r$ c'è quindi uno ed un solo numero $x$ dell'intervallo $[0;1[$, il quale si ottiene togliendo da $r$ il valore $[r]$, cioè il massimo intero in esso contenuto.

Potreste spiegarmi passo passo questo periodo?

Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.

Andrea

[blackbishop13]

rispondo al punto 2
ti dice semplicemente quello che è ovvio, cioè che due elementi stanno nella stessa classe se la loro differenza sta in $ZZ$, ovvero se la loro differenza è un intero, ovvero se due numeri hanno la stessa parte decimale. se non sai cos'è la parte decimale, è proprio quello che ti immagini, ti basti sapere che la parte decimale di $2,349$ è $0,349$. o più precisamente, la parte decimale di un generico $x$, come dice il tuo libro, è $x-[x]$ dove $[x]$ indica la parte intera, ma se non sai cos'è la parte intera, siamo da capo, comunque anche questo è un concetto molto semplice ed intuitivo: è il massimo intero minore di $x$.
ti è chiaro?

[Andrea902]

"blackbishop13":rispondo al punto 2
ti dice semplicemente quello che è ovvio, cioè che due elementi stanno nella stessa classe se la loro differenza sta in $ZZ$, ovvero se la loro differenza è un intero, ovvero se due numeri hanno la stessa parte decimale. se non sai cos'è la parte decimale, è proprio quello che ti immagini, ti basti sapere che la parte decimale di $2,349$ è $0,349$. o più precisamente, la parte decimale di un generico $x$, come dice il tuo libro, è $x-[x]$ dove $[x]$ indica la parte intera, ma se non sai cos'è la parte intera, siamo da capo, comunque anche questo è un concetto molto semplice ed intuitivo: è il massimo intero minore di $x$.
ti è chiaro?

Quasi tutto chiaro! So cosa è la parte intera e tutto il resto... il dubbio riguarda l'affermazione:

due elementi stanno nella stessa classe se la loro differenza sta in $ZZ$, ovvero se la loro differenza è un intero, ovvero se due numeri hanno la stessa parte decimale.

Perché ci interessiamo della differenza? Poi, riguardo al fatto che in ogni laterale c'è uno ed un solo elemento $x in[0;1)$ come la mettiamo? Ci si sta riferendo alla parte decimale? E perché?
Grazie di tutto.

[blackbishop13]

dovresti sapere che due elementi di $A$ stanno nella stessa classe di $A$$/$$B$ se la loro differenza sta in $B$.
oltre che essere la definizione, è molto intuitivo, soprattutto in casi come questo.
certo che ci si riferisce alla parte decimale, ed è evidente che tutte le possibili parti decimale sono i numeri reali nell'intervallo $[0,1)$

[Andrea902]

Ok. Questo è chiaro, ma non mi spiego la proposizione:

In ogni laterale determinato da un certo elemento $r$ c'è quindi uno ed un solo numero $x$ dell'intervallo $[0;1[$, il quale si ottiene togliendo da $r$ il valore $[r]$, cioè il massimo intero in esso contenuto.

Perché c'è uno ed un solo numero siffatto? Chi è $r$?