Descrivere il reticolo dei sottogruppi
Quando si tratta di descrivere il reticolo dei sottogruppi di un gruppo mi trovo in difficoltà.
Ad esempio nel caso di $Z_25$ quanti sottogruppi ci sono? Io direi tutti gli $Z_2$, $Z_3$, e così via, ma ce ne sono altri?
E nel caso di un reticolo tipo questo: $Z_3$ x $Z_2$ x $Z_2$?
Il reticolo di $Z_2$ x $Z_2$ lo so fare, ma in che modo lo incrocio con $Z_3$ ?
Ad esempio nel caso di $Z_25$ quanti sottogruppi ci sono? Io direi tutti gli $Z_2$, $Z_3$, e così via, ma ce ne sono altri?
E nel caso di un reticolo tipo questo: $Z_3$ x $Z_2$ x $Z_2$?
Il reticolo di $Z_2$ x $Z_2$ lo so fare, ma in che modo lo incrocio con $Z_3$ ?
Risposte
Per gruppi grandi e' un problema difficile determinare il reticolo dei sottogruppi. Per gli esempi che hai proposto (e in generale per gruppi abeliani finiti) e' invece abbastanza facile.
Il risultato fondamentale che ti dovrebbe guidare per un primo approccio e' il Teorema di Lagrange: se $G$ e' un gruppo finito e $H$ e' un suo sottogruppo, allora $| H |$ divide $|G |$.
In particolare, quali sono gli ordini possibili per i sottogruppi di un gruppo di ordine $25$ (come \( \mathbb{Z}_{25} \))? Ne sapresti trovare almeno uno con l'ordine giusto? Riusciresti a dimostrare che e' l'unico?
In generale non e' difficile dimostrare che in un gruppo ciclico $C_n$ esiste esattamente un sottogruppo di ordine $d$ per ogni divisore di $n$ e questo sottogruppo e' isomorfo al gruppo ciclico di ordine $d$. Tenendo a mente questo e il fatto che se $a$ e $b$ sono interi coprimi allora $C_a \times C_b$ e' isomorfo a $C_{ab}$ anche gli altri casi si risolvono abbastanza facilmente.
Se non conosci questi risultati piu' generali, puoi provare a dimostrarli da solo: sono un esercizio carino che si basa solo sulle proprieta' della divisibilita' di interi. Piu' in particolare, puoi provare a dimostrare questi risultati nei casi particolari che ti vengono proposti.
Il risultato fondamentale che ti dovrebbe guidare per un primo approccio e' il Teorema di Lagrange: se $G$ e' un gruppo finito e $H$ e' un suo sottogruppo, allora $| H |$ divide $|G |$.
In particolare, quali sono gli ordini possibili per i sottogruppi di un gruppo di ordine $25$ (come \( \mathbb{Z}_{25} \))? Ne sapresti trovare almeno uno con l'ordine giusto? Riusciresti a dimostrare che e' l'unico?
In generale non e' difficile dimostrare che in un gruppo ciclico $C_n$ esiste esattamente un sottogruppo di ordine $d$ per ogni divisore di $n$ e questo sottogruppo e' isomorfo al gruppo ciclico di ordine $d$. Tenendo a mente questo e il fatto che se $a$ e $b$ sono interi coprimi allora $C_a \times C_b$ e' isomorfo a $C_{ab}$ anche gli altri casi si risolvono abbastanza facilmente.
Se non conosci questi risultati piu' generali, puoi provare a dimostrarli da solo: sono un esercizio carino che si basa solo sulle proprieta' della divisibilita' di interi. Piu' in particolare, puoi provare a dimostrare questi risultati nei casi particolari che ti vengono proposti.
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