Derivabilità e radice

[Lale1]

La funzione $sqrt(f(x))$ è sicuramente non derivabile nei punti in cui f(x)=0?
Sotto quali condizioni lo è?

Io ho trovato un controesempio come risposta, cioè prendendo ad esempio f(x)=x^4 si ha che la radice di questa funzione è sempre derivabile. Ma come posso trovare la regola generale? Grazie tante..

[Megan00b]

$sqrt(x)$ non è derivabile in 0 per il semplice motivo che non esiste la derivata sinistra della funzione in 0 a sua volta per il semplice motivo che a sinistra dello 0 non c'è nemmeno la funzione. Tutte le funzioni f che presentano questo comportamento hanno lo stesso <>. Il tuo controesempio non lo presenta perchè la funzione $x^2$ esiste ben definita in tutto $RR$. A questo devi aggiungere la considerazione che la derivata sinistra e quella destra in 0 sono uguali (come da definizione di derivabilità). Se prendi ad esempio la funzione $sqrt(|x|)$ questa è definita in tutto $RR$ ma non è derivabile in 0 come puoi vedere da te.