Densità

[monetaria]

ho bisogno della definizione di "insieme denso" e magari qualche esempio .. grazie!

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Si tratta di un insieme che interseca ogni aperto non vuoto: dato uno spazio topologico $X$ e un suo sottoinsieme $Y$, $Y$ si dice sottoinsieme denso di $X$ se per ogni aperto non vuoto $U$ di $X$, l'insieme $U nn Y$ è non vuoto.
Per esempio un punto denso non è altro che un punto che appartiene ad ogni aperto non vuoto.

Per esempio $QQ$ è denso in $RR$ perché ogni aperto non vuoto di $RR$ contiene un aperto della forma $(a,b)$, e tra i due reali $a
Per esempio dato uno spazio topologico $X$ e un suo punto $x$, la chiusura $overline{{x}}$ di $x$ in $X$ ammette $x$ come punto denso.

Un sottoinsieme $Y$ di uno spazio topologico $X$ è denso in $X$ se e solo se la sua chiusura è tutto $X$.

[dissonance]

Negli spazi metrici può essere comodo osservare che, se D è un sottoinsieme denso, allora ogni punto che non appartiene a D è di accumulazione per D, e quindi per come è fatto uno spazio metrico quello è il limite di una successione di punti di D. (Chiaro?! ) In pratica, sto dicendo che (ad esempio in $RR$), ogni numero irrazionale è il limite di una successione di razionali, e in $RR^2$ ogni coppia di p.ti irrazionali è limite di una successione di p.ti a coordinate razionali eccetera. Da quello che ho visto, spec. in analisi è questa proprietà quella principale dei sottoinsiemi densi.