Delucidazioni argomento logaritmo e su $π(x)$
Buongiorno.
Partendo da $2n$, vorrei provare l’esistenza di almeno un numero primo nell’intervallo $[n,2n]$,
per dimostrare questo (come appreso da questo forum) utilizzo il teorema dei numeri primi,
che ci fornisce una stima $x/(log x)$ asintotica di $π(x)$, ossia del numero di numeri primi compresi tra $1$ e $x$.
Sapendo che tra $n$ e $2n$,estremi esclusi, ci sono $π(2n)- π(n)$ numeri primi,
e che se $x≥55$ allora $x/(log x+2) < π(x) < x/(log x-4) $, in cui log indica il logaritmo naturale,
avrò, per $x≥55$, che $π(2x)- π(x) >$ $(2x)/( log 2x+2) - x/(log x -4)$ .
Quindi trovo che tutti le $x≥55$ verificano la disequazione $(2x)/( log 2x+2) - x/(log x -4) ≥1$,
perché essa mi risulta verificata per $x ≥ 10,2727$.
In merito vorrei chiedere alcune cose:
- Il ragionamento è giusto?
- Anche a voi risulta che $(2x)/(log 2x+2) - x/(log x-4) ≥1$ è verificata per $x ≥ 10,2727$ ?
- Ho dubbi sul calcolo dei logaritmi perché sono privi delle parentesi quadre;
ad esempio considerando $log 2x+2$ e ponendo $x=5$, devo calcolare $log 10$ e poi aggiungere $2$ al risultato
oppure calcolare direttamente $log 12$
- Per calcolare il numero dei primi in $[n,2n-2]$, per $x ≥55$ devo procedere considerando
$π(2x-2)- π(x) > (2x-2)/(log 2x)$ $ - x/(log x-4)$
e poi verificare la disequazione $(2x-2)/(log 2x) - x/(log x-4) ≥1$ ?
- Mi dite altre disuguaglianze per provare l’esistenza di almeno un numero primo ell’intervallo $[n,2n]$ per $x<55$
- posso trasformare $(2x)/(log 2x+2) - x/(log x-4) ≥1$ in $x/(log x -4) - (2x)/( log 2x+2) ≤1$ e quindi trovare le
le $x≥55$ verificano la disequazione?
Grazie.
Partendo da $2n$, vorrei provare l’esistenza di almeno un numero primo nell’intervallo $[n,2n]$,
per dimostrare questo (come appreso da questo forum) utilizzo il teorema dei numeri primi,
che ci fornisce una stima $x/(log x)$ asintotica di $π(x)$, ossia del numero di numeri primi compresi tra $1$ e $x$.
Sapendo che tra $n$ e $2n$,estremi esclusi, ci sono $π(2n)- π(n)$ numeri primi,
e che se $x≥55$ allora $x/(log x+2) < π(x) < x/(log x-4) $, in cui log indica il logaritmo naturale,
avrò, per $x≥55$, che $π(2x)- π(x) >$ $(2x)/( log 2x+2) - x/(log x -4)$ .
Quindi trovo che tutti le $x≥55$ verificano la disequazione $(2x)/( log 2x+2) - x/(log x -4) ≥1$,
perché essa mi risulta verificata per $x ≥ 10,2727$.
In merito vorrei chiedere alcune cose:
- Il ragionamento è giusto?
- Anche a voi risulta che $(2x)/(log 2x+2) - x/(log x-4) ≥1$ è verificata per $x ≥ 10,2727$ ?
- Ho dubbi sul calcolo dei logaritmi perché sono privi delle parentesi quadre;
ad esempio considerando $log 2x+2$ e ponendo $x=5$, devo calcolare $log 10$ e poi aggiungere $2$ al risultato
oppure calcolare direttamente $log 12$
- Per calcolare il numero dei primi in $[n,2n-2]$, per $x ≥55$ devo procedere considerando
$π(2x-2)- π(x) > (2x-2)/(log 2x)$ $ - x/(log x-4)$
e poi verificare la disequazione $(2x-2)/(log 2x) - x/(log x-4) ≥1$ ?
- Mi dite altre disuguaglianze per provare l’esistenza di almeno un numero primo ell’intervallo $[n,2n]$ per $x<55$
- posso trasformare $(2x)/(log 2x+2) - x/(log x-4) ≥1$ in $x/(log x -4) - (2x)/( log 2x+2) ≤1$ e quindi trovare le
le $x≥55$ verificano la disequazione?
Grazie.
Risposte
C'è solo un piccolo problema, anzi un paio.
Il primo problema è che quella relazione data dal teorema dei numeri primi è una stima asintotica che, usata nel mondo reale, presenta un certo margine di errore.
Il secondo problema è un risultato di Chebyshev che dice con esattezza che
$x/(2log(x))\le \pi(x) \le (2x)/(log(x))$
e facendo due calcoli quell'intervallo è anche più ampio di $x/log(x)$ con cui siamo abituati a convivere.
Comunque c'è un risultato interessante (Ishikawa negli anni '30) che dice che
$pi(xy)\ge \pi(x)+pi(y)$ con $x\ge y \ge 2$ e $x\ge 6$
che in teoria dovrebbe automaticamente dimostrare quella relazione
$pi(2n)\ge pi(2)+pi(n)=pi(n)+1$ con $n\ge 6$ che dimostra che c'è almeno un primo tra $n$ e $2n$.
C'è un testo molto bello che consiglio spesso - sono sicuro che se lo cerco sulla funzione cerca trovo miei thread: carino, non difficile e che spiega in modo chiaro molti argomenti:
P. Ribenboim The New Book of Prime Number Records Third Edition, Springer-Verlag New York 1996
o almeno quella è l'edizione che ho letto come cultura di base per la tesi.
Purtroppo non si può avere tutto dalla vita e per quanto quel testo lo adoro anche per la semplicità e l'esaustività... è in inglese!
Il primo problema è che quella relazione data dal teorema dei numeri primi è una stima asintotica che, usata nel mondo reale, presenta un certo margine di errore.
Il secondo problema è un risultato di Chebyshev che dice con esattezza che
$x/(2log(x))\le \pi(x) \le (2x)/(log(x))$
e facendo due calcoli quell'intervallo è anche più ampio di $x/log(x)$ con cui siamo abituati a convivere.
Comunque c'è un risultato interessante (Ishikawa negli anni '30) che dice che
$pi(xy)\ge \pi(x)+pi(y)$ con $x\ge y \ge 2$ e $x\ge 6$
che in teoria dovrebbe automaticamente dimostrare quella relazione
$pi(2n)\ge pi(2)+pi(n)=pi(n)+1$ con $n\ge 6$ che dimostra che c'è almeno un primo tra $n$ e $2n$.
C'è un testo molto bello che consiglio spesso - sono sicuro che se lo cerco sulla funzione cerca trovo miei thread: carino, non difficile e che spiega in modo chiaro molti argomenti:
P. Ribenboim The New Book of Prime Number Records Third Edition, Springer-Verlag New York 1996
o almeno quella è l'edizione che ho letto come cultura di base per la tesi.
Purtroppo non si può avere tutto dalla vita e per quanto quel testo lo adoro anche per la semplicità e l'esaustività... è in inglese!
Ciao e grazie. Perché almeno in teoria?
I teoremi di esistenza dei numeri primi non usano $π(x)$?
In relazione a
$π(2n)≥π(2)+π(n)=π(n)+1$ con $n≥6 $
non ho capitoche l'uguaglianza:
$π(2)+π(n)=π(n)+1$
$π(2)=1$?
Tagliando la testa al toro, come dimostreresti, partendo da $2n$, che esiste almeno un numero primo (due sarebbereo meglio) tra $n$ e $2n$, estremi inclusi con $n$ numero naturale positivo.
I teoremi di esistenza dei numeri primi non usano $π(x)$?
In relazione a
$π(2n)≥π(2)+π(n)=π(n)+1$ con $n≥6 $
non ho capitoche l'uguaglianza:
$π(2)+π(n)=π(n)+1$
$π(2)=1$?
Tagliando la testa al toro, come dimostreresti, partendo da $2n$, che esiste almeno un numero primo (due sarebbereo meglio) tra $n$ e $2n$, estremi inclusi con $n$ numero naturale positivo.
"Dario95":
Ciao e grazie. Perché almeno in teoria?
I teoremi di esistenza dei numeri primi non usano $π(x)$?
Sì, ma come ti ho detto, quando si parla di conti pratici e di dati reali, le stime non vanno molto bene.
In relazione a
$π(2n)≥π(2)+π(n)=π(n)+1$ con $n≥6 $
non ho capitoche l'uguaglianza:
$π(2)+π(n)=π(n)+1$
$π(2)=1$?
$\pi(x)="numero dei primi "\le x$ con $x>0$, dunque $\pi(2)=1$ per quanto ne sapevo.
Per il resto ci ho provato, anche usando qualche stima - c'è un mio post "delirante" a tal proposito perso tra le nebbie di matematicamente se non erro che se trovo modifico e ne cancello il contenuto
- ma non è così facile anche se magari si fa uguale nonostante le stime. L'importante è conoscere l'errore che si commette quando si usano le stime, usare la stima nei dati concreti non basta.
Grazie, mi sei stato di grande aiuto 
Forse la migliore dimostrazione che partendo da $n$ vi sia almeno un primo tra $n$ è il suo doppio per $n> 3$ è affermare che tale proposizione è stato dimostrata da Chebyshev in una versione più restrittiva
.
Forse la migliore dimostrazione che partendo da $n$ vi sia almeno un primo tra $n$ è il suo doppio per $n> 3$ è affermare che tale proposizione è stato dimostrata da Chebyshev in una versione più restrittiva
.
Prego. Comunque ho qualche dubbio sulla tua affermazione (se ti riferisci a Chebyshev e Bertrand), ma invito i moderatori a spostare questa discussione nella sezione di algebra e TDN in modo che pareri migliori e più freschi del mio possano aggiungere qualcosa.
Srinivasa Ramanujan nella sua dimostrazione del postulato di Betrand, chiude la stessa verificando che la disuguaglianza di cui linko l'immagine (non so scriverla nel formato del forum ) http://upload.wikimedia.org/math/d/a/f/ ... a26899.png
per $x$ maggiore oppure uguale a $938$ ha il secondo membro maggiore di uno.
Qui tutta la dimostrazione http://it.m.wikipedia.org/wiki/Dimostra ... i_Bertrand, questo basta per comprovare l'affermazione che partendo da $2n$ è sempre possibile verificare l' esistenza di almeno un primo tra $ 2n $ ed $n$
per $x$ maggiore oppure uguale a $938$ ha il secondo membro maggiore di uno.
Qui tutta la dimostrazione http://it.m.wikipedia.org/wiki/Dimostra ... i_Bertrand, questo basta per comprovare l'affermazione che partendo da $2n$ è sempre possibile verificare l' esistenza di almeno un primo tra $ 2n $ ed $n$
Stando a wiki sembra di sì e le mie conoscenze sbiadite non mi consentono di dire di più. Comunque proprio perché stiamo andando ben oltre la scuola superiore, rinnovo l'invito - oh, alla fine fate come volete! 
- ai moderatori a spostare questa discussione nella sezione a tema in modo che potresti ricevere risposte migliori della mia.
- ai moderatori a spostare questa discussione nella sezione a tema in modo che potresti ricevere risposte migliori della mia.
Inteso. Ancora grazie
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