Delucidazione/spiegazione: funzione totale e sottoinsiemi del (co)dominio
Salve a tutti,
vorrei soltanto un indirizzo di pensiero da parte di qualcuno su alcune precisazioni che con alcuni colleghi ci stanno mettendo in difficoltà, se io definisco una funzione totale $f: A \to B $ è lecito poi definire o porre le funzioni $f:C \to B$ o $f:C \to D$, ove \( \emptyset \neq C \subseteq A \) e \( \emptyset \neq D \subseteq B \) ???
Io con altri colleghi pensiamo che sia più giusto pensare alle restrizioni, nel primo caso, di $f$ in $C$ e, nel secondo caso, di $f$ in $C xx D$... proprio perchè a priori ho definito una funzione $f: A \to B$ totale..!!! Di conseguenza pensiamo che se non avessi posto a priori che $f: A \to B$ fosse totale allora potevamo considerare le funzioni $f:C \to B$ o $f:C \to D$...
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
P.S.=Scovando online ho trovato anche [url=http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Restriction_of_Mapping]questo[/url] link
vorrei soltanto un indirizzo di pensiero da parte di qualcuno su alcune precisazioni che con alcuni colleghi ci stanno mettendo in difficoltà, se io definisco una funzione totale $f: A \to B $ è lecito poi definire o porre le funzioni $f:C \to B$ o $f:C \to D$, ove \( \emptyset \neq C \subseteq A \) e \( \emptyset \neq D \subseteq B \) ???
Io con altri colleghi pensiamo che sia più giusto pensare alle restrizioni, nel primo caso, di $f$ in $C$ e, nel secondo caso, di $f$ in $C xx D$... proprio perchè a priori ho definito una funzione $f: A \to B$ totale..!!! Di conseguenza pensiamo che se non avessi posto a priori che $f: A \to B$ fosse totale allora potevamo considerare le funzioni $f:C \to B$ o $f:C \to D$...
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
P.S.=Scovando online ho trovato anche [url=http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Restriction_of_Mapping]questo[/url] link
Risposte
Per funzione totale cosa intendi? Intendi che per ogni \(x \in A\) esiste il corrispondente secondo la data funzione in \(B\)?
Quando scrivi \(f \colon C \to B \) e \(f \colon C \to D\) intendi che le assegnazioni sono le stesse che in \(f \colon A \to B\)?
Se la risposta è sì ad entrambe le domande, allora io direi che \(f \colon C \to B\) è proprio l'usuale restrizione di \(f\) a \(C\) ed è anch'essa totale. \(f \colon C \to D\) potrebbe non essere una funzione totale, nel caso in cui si dovesse scegliere \(D\) strettamente incluso nell'immagine di \(C\) secondo \(f\).
In ogni caso, accettata la definizione e la distinzione tra funzione parziale e funzione totale, direi che sono tutte posizioni lecite.
Quando scrivi \(f \colon C \to B \) e \(f \colon C \to D\) intendi che le assegnazioni sono le stesse che in \(f \colon A \to B\)?
Se la risposta è sì ad entrambe le domande, allora io direi che \(f \colon C \to B\) è proprio l'usuale restrizione di \(f\) a \(C\) ed è anch'essa totale. \(f \colon C \to D\) potrebbe non essere una funzione totale, nel caso in cui si dovesse scegliere \(D\) strettamente incluso nell'immagine di \(C\) secondo \(f\).
In ogni caso, accettata la definizione e la distinzione tra funzione parziale e funzione totale, direi che sono tutte posizioni lecite.
Salve Wizard,
per funzione totale intendo certamente che:
per la seconda domanda direi anche lì di sì!!
Ti ringrazio della risposta, quindi \(f \colon C \to D\) non può essere intesa come la restrizione di $f$ in $C xx D$? La domanda me la pongo perchè se intendo le assegnazioni in \(f \colon C \to D\) le stesse di quelle in \(f \colon A \to B\)....
Cordiali saluti
"WiZaRd":
Per funzione totale cosa intendi? Intendi che per ogni \(x \in A\) esiste il corrispondente secondo la data funzione in \(B\)?
Quando scrivi \(f \colon C \to B \) e \(f \colon C \to D\) intendi che le assegnazioni sono le stesse che in \(f \colon A \to B\)?
Se la risposta è sì ad entrambe le domande, allora io direi che \(f \colon C \to B\) è proprio l'usuale restrizione di \(f\) a \(C\) ed è anch'essa totale. \(f \colon C \to D\) potrebbe non essere una funzione totale, nel caso in cui si dovesse scegliere \(D\) strettamente incluso nell'immagine di \(C\) secondo \(f\).
In ogni caso, accettata la definizione e la distinzione tra funzione parziale e funzione totale, direi che sono tutte posizioni lecite.
per funzione totale intendo certamente che:
"WiZaRd":
per ogni \(x \in A\) esiste il corrispondente secondo la data funzione in \(B\)
per la seconda domanda direi anche lì di sì!!
Ti ringrazio della risposta, quindi \(f \colon C \to D\) non può essere intesa come la restrizione di $f$ in $C xx D$? La domanda me la pongo perchè se intendo le assegnazioni in \(f \colon C \to D\) le stesse di quelle in \(f \colon A \to B\)....
Cordiali saluti
Il problema, a mio modo di vedere, sta nel fatto che se \(D\) è un sottoinsieme proprio dell'immagine di \(C\) mediante \(f\), allora avrai qualche elemento di \(C\) la cui immagine non cade in \(D\) ma al di fuori di esso e, per tanto, la \(f \colon C \to D\) risulta essere non totale ma parziale.
Se nelle vostre definizioni accettate che la restrizione di un'applicazione totale possa essere non totale, allora anche \(f \colon C \to D\) può essere intesa come la restrizione di \(f \colon A \to B\) a \(C \times D\), altrimenti no. Ciò non toglie che \(f \colon C \to D\) sia ben posta, in quanto applicazione parziale.
Se poi \(D\) contiene (propriamente o impropriamente) l'immagine di \(C\) mediante \(f\), allora il problema non si pone. \(f \colon C \to D\) continua ad essere totale e può certamente essere intesa come la usuale restrizione di \(f \colon A \to B\) a \(C \times D\).
Se nelle vostre definizioni accettate che la restrizione di un'applicazione totale possa essere non totale, allora anche \(f \colon C \to D\) può essere intesa come la restrizione di \(f \colon A \to B\) a \(C \times D\), altrimenti no. Ciò non toglie che \(f \colon C \to D\) sia ben posta, in quanto applicazione parziale.
Se poi \(D\) contiene (propriamente o impropriamente) l'immagine di \(C\) mediante \(f\), allora il problema non si pone. \(f \colon C \to D\) continua ad essere totale e può certamente essere intesa come la usuale restrizione di \(f \colon A \to B\) a \(C \times D\).
Salve WiZaRd,
grazie tanto, nel mio caso \(D\) contiene (non importa se propriamente o impropriamente) l'immagine di \(C\) mediante \(f\)... ma terrò conto della tua spiegazione qualora in cui la cosa è più specifica!!!
Cordiali saluti
"WiZaRd":
Il problema, a mio modo di vedere, sta nel fatto che se \(D\) è un sottoinsieme proprio dell'immagine di \(C\) mediante \(f\), allora avrai qualche elemento di \(C\) la cui immagine non cade in \(D\) ma al di fuori di esso e, per tanto, la \(f \colon C \to D\) risulta essere non totale ma parziale.
Se nelle vostre definizioni accettate che la restrizione di un'applicazione totale possa essere non totale, allora anche \(f \colon C \to D\) può essere intesa come la restrizione di \(f \colon A \to B\) a \(C \times D\), altrimenti no. Ciò non toglie che \(f \colon C \to D\) sia ben posta, in quanto applicazione parziale.
Se poi \(D\) contiene (propriamente o impropriamente) l'immagine di \(C\) mediante \(f\), allora il problema non si pone. \(f \colon C \to D\) continua ad essere totale e può certamente essere intesa come la usuale restrizione di \(f \colon A \to B\) a \(C \times D\).
grazie tanto, nel mio caso \(D\) contiene (non importa se propriamente o impropriamente) l'immagine di \(C\) mediante \(f\)... ma terrò conto della tua spiegazione qualora in cui la cosa è più specifica!!!
Cordiali saluti
Salve WiZaRd,
vorrei una tua opinioni in merito, supponiamo di avere le funzioni \( f: A \to B \) ed \( C \subseteq A \) e \( D \subseteq B \), è giusto definire la funzione \( f|_{C \times D}: C \to D \) con \( f|_{C \times D}(x)=f(x) \) e \( f(x) \in D \) preso un qualunque \( x \in C \)?? Io penso di sì, ma vorrei sentire una tua opinione!!
Cordiali saluti
vorrei una tua opinioni in merito, supponiamo di avere le funzioni \( f: A \to B \) ed \( C \subseteq A \) e \( D \subseteq B \), è giusto definire la funzione \( f|_{C \times D}: C \to D \) con \( f|_{C \times D}(x)=f(x) \) e \( f(x) \in D \) preso un qualunque \( x \in C \)?? Io penso di sì, ma vorrei sentire una tua opinione!!
Cordiali saluti
Assumendo la distinzione tra funzioni parziali e funzioni totali ed accettando che una restrizione possa non essere totale, sì, altrimenti no perché potrebbe succedere che \(f(x) \notin D\), nel caso in cui \(D\) sia un sottoinsieme proprio di \(f(C)\). Quindi in linea di principio non è nemmeno tanto corretto scrivere \(f(x) \in D\).
Salve WiZaRd,
quindi come consigli di fare la definizione aggiungendo \( f(C) \subseteq D \)??
Ti ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
"WiZaRd":
Assumendo la distinzione tra funzioni parziali e funzioni totali ed accettando che una restrizione possa non essere totale, sì, altrimenti no perché potrebbe succedere che \(f(x) \notin D\), nel caso in cui \(D\) sia un sottoinsieme proprio di \(f(C)\). Quindi in linea di principio non è nemmeno tanto corretto scrivere \(f(x) \in D\).
quindi come consigli di fare la definizione aggiungendo \( f(C) \subseteq D \)??
Ti ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
Premessa importante: non sono un esperto di funzioni parziali o totali. Quindi non so se esiste una posizione globalmente condivisa circa le restrizioni delle funzioni parziali.
Io procederei così.
O aggiungiamo la condizione \(f(C) \subseteq D\) oppure si potrebbe porre \(f \rvert_{C \times D}(x)=f(x)\) se \(x \in f^{-1}(D)\) e \(f \rvert_{C \times D}\) non definito se \(x \notin f^{-1}(D)\), ove \(f^{-1}(D)\) è l'antimmagine di \(D\). Tanto la funzione o è parziale o è totale e le totali sono comunque un tipo particolare di funzione parziale.
Io procederei così.
O aggiungiamo la condizione \(f(C) \subseteq D\) oppure si potrebbe porre \(f \rvert_{C \times D}(x)=f(x)\) se \(x \in f^{-1}(D)\) e \(f \rvert_{C \times D}\) non definito se \(x \notin f^{-1}(D)\), ove \(f^{-1}(D)\) è l'antimmagine di \(D\). Tanto la funzione o è parziale o è totale e le totali sono comunque un tipo particolare di funzione parziale.
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