Delucidazione su teorema di Eulero e funzione di eulero.
Il teorema di Eulero afferma che se \( (n,k)=1 \) allora \(k^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n \).
Dunque ad esempio prendendo \( \varphi(360)=96 \) abbiamo che \( (77,360)=1 \) e possiamo affermare che \( 77^{96} \equiv 1 \mod 360 \).
Ma possiamo concludere che \( 21^{96} \not\equiv 1 \mod 360 \) poiché \( (360,21)=3 \) ?
Mi si chiede se è vero o falso che
\( 21^{ \varphi(360)} \equiv 1 \mod 360 \) io direi di no per questo motivo. Ma nel teorema non c'è un se e solo se ma solamente un implicazione...
Inoltre legata sempre alla funzione totiente di eulero.
Nel libro c'è questa proposizione:
Dato \(n\) e \( (C_n, \cdot) \), il gruppo ciclico di ordine \(n\), abbiamo che \( \varphi(n) = \operatorname{card} (\{g \in C_n : \left< g \right> = C_n \} ) \).
Dimostrazione: Il gruppo \(C_n\) è isomorfo a \( ( \mathbb{Z}/n, +) \).
Ora io me lo sono spiegato in questo modo, siccome \( \varphi(n)=\operatorname{card}((\mathbb{Z}/n)^{\times}) \). Ma non penso sia corretto.
Altrimenti risulterebbe che \( (\mathbb{Z}/21)^{\times}) \) è ciclico ma non lo è poiché \( \mathbb{Z}/21 \cong \mathbb{Z}/3 \times \mathbb{Z}/7 \). E dunque \( (\mathbb{Z}/21)^{\times} \cong C_2 \times C_6 \) che non è ciclico.
Dunque non capisco come il fatto nella dimostrazione che \(C_n \cong \mathbb{Z}/n \) possa dimostrare la proposizione.
- È vero in generale che con \(p \) primo abbiamo che \((\mathbb{Z}/p)^{\times} \) è ciclico ed è isomorfo a \( C_{p-1} \)?
- Se \(p \) non è primo come ragionare? Per \(n \) piccolo si può calcolare ad esempio \( (\mathbb{Z}/6)^{\times} = \{-1,1\} = C_2 \).
Ma se ad esempio se volessi scoprire se il gruppo moltiplicativo \( (\mathbb{Z}/360)^{\times} \) è ciclico o meno come procedere?
Ho messo in spoiler perché ho scritto una boiata allucinante!
Edit:
- Perché con \( \mathbb{Z}/6 \) non funziona l'argomentazione analoga a \( \mathbb{Z}/21 \)?
Per il resto cinese \( \mathbb{Z}/6 \cong \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/3 \) e dunque \( (\mathbb{Z}/6)^{\times} \cong C_1 \times C_2 \) che se non sbaglio (ma forse è qui che sbaglio) non è isomorfo a \(C_2\).
Dunque ad esempio prendendo \( \varphi(360)=96 \) abbiamo che \( (77,360)=1 \) e possiamo affermare che \( 77^{96} \equiv 1 \mod 360 \).
Ma possiamo concludere che \( 21^{96} \not\equiv 1 \mod 360 \) poiché \( (360,21)=3 \) ?
Mi si chiede se è vero o falso che
\( 21^{ \varphi(360)} \equiv 1 \mod 360 \) io direi di no per questo motivo. Ma nel teorema non c'è un se e solo se ma solamente un implicazione...
Inoltre legata sempre alla funzione totiente di eulero.
Nel libro c'è questa proposizione:
Dato \(n\) e \( (C_n, \cdot) \), il gruppo ciclico di ordine \(n\), abbiamo che \( \varphi(n) = \operatorname{card} (\{g \in C_n : \left< g \right> = C_n \} ) \).
Dimostrazione: Il gruppo \(C_n\) è isomorfo a \( ( \mathbb{Z}/n, +) \).
Ora io me lo sono spiegato in questo modo, siccome \( \varphi(n)=\operatorname{card}((\mathbb{Z}/n)^{\times}) \). Ma non penso sia corretto.
Altrimenti risulterebbe che \( (\mathbb{Z}/21)^{\times}) \) è ciclico ma non lo è poiché \( \mathbb{Z}/21 \cong \mathbb{Z}/3 \times \mathbb{Z}/7 \). E dunque \( (\mathbb{Z}/21)^{\times} \cong C_2 \times C_6 \) che non è ciclico.
Dunque non capisco come il fatto nella dimostrazione che \(C_n \cong \mathbb{Z}/n \) possa dimostrare la proposizione.
- È vero in generale che con \(p \) primo abbiamo che \((\mathbb{Z}/p)^{\times} \) è ciclico ed è isomorfo a \( C_{p-1} \)?
- Se \(p \) non è primo come ragionare? Per \(n \) piccolo si può calcolare ad esempio \( (\mathbb{Z}/6)^{\times} = \{-1,1\} = C_2 \).
Ma se ad esempio se volessi scoprire se il gruppo moltiplicativo \( (\mathbb{Z}/360)^{\times} \) è ciclico o meno come procedere?
Ho messo in spoiler perché ho scritto una boiata allucinante!
Edit:
- Perché con \( \mathbb{Z}/6 \) non funziona l'argomentazione analoga a \( \mathbb{Z}/21 \)?
Per il resto cinese \( \mathbb{Z}/6 \cong \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/3 \) e dunque \( (\mathbb{Z}/6)^{\times} \cong C_1 \times C_2 \) che se non sbaglio (ma forse è qui che sbaglio) non è isomorfo a \(C_2\).
Risposte
Se $(k,n)\ne 1$ allora $k^a$ non è mai $1$ modulo $n$, per qualsiasi valore di $a$. Ti consiglio di provare a dimostrarlo.
Se $p$ è primo dispari ed $n\in \mathbb N$, allora $(\mathbb{Z}/p^n)^\times$ è ciclico. Invece $(\mathbb Z/2^n)^\times\cong C_2\times C_{2^{n-2}}$. Per gli altri interi c'è il teorema cinese del resto.
Il testo nascosto è radicalmente sbagliato: $\mathbb Z/360$ è ciclico di ordine $360$; il prodotto diretto di due gruppi ciclici è ciclico se e solo se gli ordini dei due gruppi sono coprimi.
Se $p$ è primo dispari ed $n\in \mathbb N$, allora $(\mathbb{Z}/p^n)^\times$ è ciclico. Invece $(\mathbb Z/2^n)^\times\cong C_2\times C_{2^{n-2}}$. Per gli altri interi c'è il teorema cinese del resto.
Il testo nascosto è radicalmente sbagliato: $\mathbb Z/360$ è ciclico di ordine $360$; il prodotto diretto di due gruppi ciclici è ciclico se e solo se gli ordini dei due gruppi sono coprimi.
"hydro":
Se $ (k,n)\ne 1 $ allora $ k^a $ non è mai $ 1 $ modulo $ n $, per qualsiasi valore di $ a $. Ti consiglio di provare a dimostrarlo.
Ok grazie, provo a dimostrarlo.
"hydro":
Il testo nascosto è radicalmente sbagliato: $ \mathbb Z/360 $ è ciclico di ordine $ 360 $; il prodotto diretto di due gruppi ciclici è ciclico se e solo se gli ordini dei due gruppi sono coprimi.
Si mi ero reso conto che avevo scritto una cavolata (addirittura \(360 \neq 2^5 \cdot 3 \)) e l'ho messo in spoiler proprio per questo! Ho preso un abbaglio.
Comunque si \( \mathbb{Z}/360 \) è ciclico, è isomorfo a \( C_{360} \), ma per quanto riguarda \( (\mathbb{Z}/360)^{\times} \)? Non posso dire che è isomorfo a \(C_{\varphi(360)} \) e quindi ciclico immagino...
Provo con il resto cinese:
Ho che \( 360 = 2^3 \cdot 5 \cdot 3^2 \), dunque per il resto dei cinesi
\[ \mathbb{Z}/360 \cong \mathbb{Z}/8 \times \mathbb{Z}/5 \times \mathbb{Z}/9 \]
Quindi
\[ (\mathbb{Z}/360)^{\times} \cong (\mathbb{Z}/8)^{\times} \times (\mathbb{Z}/5)^{\times} \times (\mathbb{Z}/9)^{\times} \]
che non è ciclico poiché l'ordine di \( (\mathbb{Z}/8)^{\times} \) è 4, l'ordine di \((\mathbb{Z}/5)^{\times} \) è 4 e l'ordine di \((\mathbb{Z}/9)^{\times} \) è 6, che non sono coprimi a due a due?
"3m0o":
- È vero in generale che con \( p \) primo abbiamo che \( (\mathbb{Z}/p)^{\times} \) è ciclico ed è isomorfo a \( C_{p-1} \)?
Quindi è vero che \( (\mathbb{Z}/p)^{\times} \cong C_{p-1} \)?
"3m0o":
- Perché con \( \mathbb{Z}/6 \) non funziona l'argomentazione analoga a \( \mathbb{Z}/21 \)?
Per il resto cinese \( \mathbb{Z}/6 \cong \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/3 \) e dunque \( (\mathbb{Z}/6)^{\times} \cong C_1 \times C_2 \) che se non sbaglio (ma forse è qui che sbaglio) non è isomorfo a \( C_2 \).
Quindi \( (\mathbb{Z}/6)^{\times} \cong C_1 \times C_2 \cong C_2 \) e funziona lo stesso ragionamento?
"3m0o":
Dato \(n\) e \( (C_n, \cdot) \), il gruppo ciclico di ordine \(n\), abbiamo che \( \varphi(n) = \operatorname{card} (\{g \in C_n : \left< g \right> = C_n \} ) \).
Dimostrazione: Il gruppo \(C_n\) è isomorfo a \( ( \mathbb{Z}/n, +) \).
Non capisco questa dimostrazione onestamente!
"3m0o":
Provo con il resto cinese:
Ho che \( 360 = 2^3 \cdot 5 \cdot 3^2 \), dunque per il resto dei cinesi
\[ \mathbb{Z}/360 \cong \mathbb{Z}/8 \times \mathbb{Z}/5 \times \mathbb{Z}/9 \]
Quindi
\[ (\mathbb{Z}/360)^{\times} \cong (\mathbb{Z}/8)^{\times} \times (\mathbb{Z}/5)^{\times} \times (\mathbb{Z}/9)^{\times} \]
che non è ciclico poiché l'ordine di \( (\mathbb{Z}/8)^{\times} \) è 4, l'ordine di \((\mathbb{Z}/5)^{\times} \) è 4 e l'ordine di \((\mathbb{Z}/9)^{\times} \) è 6, che non sono coprimi a due a due?
Esatto.
"3m0o":
Quindi è vero che \( (\mathbb{Z}/p)^{\times} \cong C_{p-1} \)?
Che cardinalità ha $(\mathbb{Z}/p)^{\times}$?
"3m0o":
Dato \(n\) e \( (C_n, \cdot) \), il gruppo ciclico di ordine \(n\), abbiamo che \( \varphi(n) = \operatorname{card} (\{g \in C_n : \left< g \right> = C_n \} ) \).
Dimostrazione: Il gruppo \(C_n\) è isomorfo a \( ( \mathbb{Z}/n, +) \).
La dimostrazione significa: il claim è vero perché è vero per \( ( \mathbb{Z}/n, +) \), e a meno di isomorfismo esiste un unico gruppo ciclico di ordine $n$.
"hydro":
Che cardinalità ha $(\mathbb{Z}/p)^{\times}$?
p-1.
"hydro":
La dimostrazione significa: il claim è vero perché è vero per \( ( \mathbb{Z}/n, +) \), e a meno di isomorfismo esiste un unico gruppo ciclico di ordine $n$.
Ah... questo perché \( \{ g \in C_n : \left< g \right> = C_n \} \) è in biiezione con \( (\mathbb{Z}/n)^{\times} \), infatti un elemento inversibile di \( \mathbb{Z}/n \) genera tutto \( \mathbb{Z}/n \)...
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