Delucidazione carattere introduttivo sui fondamenti della matematica
Salve a tutti, premetto sono uno studente del secondo anno della facoltà di fisica e sono appassionato di matematica. Attualmente mi sono interessato dei fondamenti della matematica teoria insiemi e logica). Ho una domanda di carattere "introduttivo" sull'argomento prima di cimentarmi nella lettura di testi specifici. Tutta la matematica è basata sulla teoria degli insiemi e la teoria degli insiemi si esprime con la logica (generalmente è sufficiente quella del primo ordine.... vabbè). In oltre la logica fornisce le regole di dimostrazione. La mia domanda è questa. In ogni dispensa o testo di logica (cito ad esempio questa: http://www.lia.deis.unibo.it/Courses/AI ... logica.pdf) si introduce la logica (predicativa, del primo ordine ecc.) usando "nel linguaggio" la teoria degli insiemi ed i numeri naturali (come ad esempio per definire un linguaggio: https://it.wikipedia.org/wiki/Linguaggio_formale ecc.). Ma non è un controsenso, visto che la teoria degli insiemi e quindi la teoria dei cardinali deve essere costruita con la logica? Si dovrebbe partire da concetti primitivi.
Avrei poi un'altra domanda. Quando in logica si introducono le proposizioni et, vel, implicazione ecc. tramite le tabelle di verità è lecito rigorosamente, visto che si assume un valore logico ad ogni proposizione, ma in tal modo si fa algebra, e l'algebra ancora una volta deve essere costruita con la logica (controsenso) ?. Meglio introdurre i connettivi tramite le loro proprietà.
Ultima domanda se non chiedo troppo. Non so se ho letto giusto (posso perciò scrivere delle frescacce), visto che vi sono alcune antinomie tutta la matematica non può essere espressa con la logica (adesso non so se questa affermazione che viene fatta riguarda più che altro il modello specifico di logica come quella del primo, secondo ordine ecc.), allora si afferma che è la teoria degli insiemi a fondamento di questa. Tuttavia anche qui ho un controsenso visto che la teoria degli insiemi viene espressa con la logica ?
Se poi avete da segnalarmi degli specifici testi inerenti a queste tre domande ben venga. Grazie.
Avrei poi un'altra domanda. Quando in logica si introducono le proposizioni et, vel, implicazione ecc. tramite le tabelle di verità è lecito rigorosamente, visto che si assume un valore logico ad ogni proposizione, ma in tal modo si fa algebra, e l'algebra ancora una volta deve essere costruita con la logica (controsenso) ?. Meglio introdurre i connettivi tramite le loro proprietà.
Ultima domanda se non chiedo troppo. Non so se ho letto giusto (posso perciò scrivere delle frescacce), visto che vi sono alcune antinomie tutta la matematica non può essere espressa con la logica (adesso non so se questa affermazione che viene fatta riguarda più che altro il modello specifico di logica come quella del primo, secondo ordine ecc.), allora si afferma che è la teoria degli insiemi a fondamento di questa. Tuttavia anche qui ho un controsenso visto che la teoria degli insiemi viene espressa con la logica ?
Se poi avete da segnalarmi degli specifici testi inerenti a queste tre domande ben venga. Grazie.
Risposte
Non sono un esperto comunque il punto è che la logica non è l'unico fondamento possibile. Ne esistono altri da cui la logica può essere dedotta.
Inoltre esistono più logiche e molteplici teorie degli insiemi. Insomma in questo tipo di corsi si ritiene più utile lavorare con una logica di alto livello
Inoltre esistono più logiche e molteplici teorie degli insiemi. Insomma in questo tipo di corsi si ritiene più utile lavorare con una logica di alto livello
si ma in ogni teoria logica viene formulata con la teoria degli insiemi, con le funzioni e con i numeri naturali (si veda ad esempio i linguaggi formali, l'alfabeto come nei link che ho postati nel primo messaggio mandato da me), e questo è un gatto che si mangia la coda, visto che la teoria degli insiemi va costruita sulla logica e i numeri naturali vanno costruiti con la teoria degli insiemi ed i ultima analisi sulla logica. ed è la questione che ho posto
Non sono assolutamente qualificato per rispondere alla tua domanda, ma mi è capitato di ragionare su una questione simile, e quindi ti dico come la penso.
Tempo fa, mentre sfogliavo un libro di topologia, mi sono reso conto che il testo introduceva la nozione di "intorno" facendo ricorso agli insiemi aperti, e poi una decina di pagine dopo definiva la nozione di "insieme aperto" a partire dagli intorni. Alla fine sono giunto alla conclusione che entrambe le nozioni possono essere scelte come concetti primitivi e, a seconda della scelta, è possibile ottenere l'una dall'altra.
Alla luce di quanto detto da vict85, credo che lo stesso discorso si possa fare in questo caso. Ovvero, a seconda della scelta delle primitive, è possibile costruire una teoria insiemistica a partire da una teoria logica, o una teoria logica a partire da una teoria insiemistica.
Spero di non aver detto scemenze
Tempo fa, mentre sfogliavo un libro di topologia, mi sono reso conto che il testo introduceva la nozione di "intorno" facendo ricorso agli insiemi aperti, e poi una decina di pagine dopo definiva la nozione di "insieme aperto" a partire dagli intorni. Alla fine sono giunto alla conclusione che entrambe le nozioni possono essere scelte come concetti primitivi e, a seconda della scelta, è possibile ottenere l'una dall'altra.
Alla luce di quanto detto da vict85, credo che lo stesso discorso si possa fare in questo caso. Ovvero, a seconda della scelta delle primitive, è possibile costruire una teoria insiemistica a partire da una teoria logica, o una teoria logica a partire da una teoria insiemistica.
Spero di non aver detto scemenze
Il discorso che menzioni tu sulla topologia è un'altra questione. Generalmente in topologia generale (e non quella specifica dei reali) si parte inserendo una famiglia di aperti poiché partendo con gli intorni la trattazione, come dire, è molto più brigosa poiché occorrerebbe introdurre una moltitudine di assiomi come quelli di separazione di haussdorff, vietoris, tietze ecc. che mi sembra che si indichino con t3, t4 t5 ecc. Mentre invece si ha un insieme di assiomi più contenuti partendo definendo la famiglia di aperti ed è quello che si fa. Poi si definiscono gli spazi topologici di haussdorrf(assumendo che vi sono per due punti intorni separati), gli spazi topologici di vietoris ecc. Nota che sui reali introducendo gli usuali aperti e poi definendo i classici intorni sferici aperti questi, in tal particolare caso, soddisfano ad haussdorf ecc. , ma questo non accade in generale. Chiusa parentesi, visto che gli spazi topologici non vegono qui trattati. Il discorso è che la teoria degli insiemi è espressa in termini di logica (appartenere ad un insieme e non solo gli stessi assiomi ZFC sono espressi con la logica). Perciò non può essere la teoria degli insiemi che esprime la logica matematica. In oltre la teoria degli insiemi non fornisce il meccanismo delle dimostrazioni.
Non sono un esperto, e un logico te lo saprebbe illustrare meglio, ma mi sembra che stai affrontando il problema del metalinguaggio. O meglio, stai considerando il metalinguaggio inserito nel linguaggio, quando non lo è. Beh, se lo fosse, non si potrebbe fare logica, dato che qualsiasi linguaggio si usi per partire non è stato mai definito prima.
Per fare un esempio, se io dico "adesso introduciamo il concetto di numero, che è uno tra gli argomenti più belli" ho usato la parola "uno" che è un numero. A rigore prima di introdurre i numeri non dovrei mai usarli, no? Questo paradosso (tra parentesi un paradosso vero basato su questo principio è il paradosso del mentitore) si spiega col fatto che quando si parla di un linguaggio non si sta usando il linguaggio stesso, si sta usando un'altra cosa, che si chiama metalinguaggio. Per esempio vedi qui.
Per fare un esempio, se io dico "adesso introduciamo il concetto di numero, che è uno tra gli argomenti più belli" ho usato la parola "uno" che è un numero. A rigore prima di introdurre i numeri non dovrei mai usarli, no? Questo paradosso (tra parentesi un paradosso vero basato su questo principio è il paradosso del mentitore) si spiega col fatto che quando si parla di un linguaggio non si sta usando il linguaggio stesso, si sta usando un'altra cosa, che si chiama metalinguaggio. Per esempio vedi qui.
La logica (matematica) intuitivamente dà le regole e i procedimenti di ragionamento che sono generali e valgono per tutte le teorie matematiche, alla logica si può poi associare un oggetto detto modello, costrutto teorico matematico, che intuitivamente dà significato a quello che si sta facendo, esso consiste infatti in un "modello concreto" e realizza le regole implicite contenute negli assiomi (sia della teoria logica che eventualmente, quelli specifici della teoria matematica che vuole trattare). I modelli vengono costruiti mediante la teoria degli insiemi, che è una teoria matematica. Le teorie matematiche devono soddisfare i loro assiomi specifici, e dovrebbero soddisfare almeno un modello che è, come appena detto, basato sulla teoria degli insiemi; infine, questi ultimi (gli assiomi specifici) sono sempre in armonia con degli assiomi più generali, che sono sempre quelli là, cioè quelli contenuti e stabiliti nella logica in questione, come il "principio del terzo escluso", "il principio di non contraddizione", ecc....
Questo fa intuire che è proprio dalla teoria degli insiemi che si possono costruire tutte (o quasi) le teorie matematiche operando solo con gli oggetti della teoria degli insiemi in maniera corretta cioè non sforando le regole generali dettate dalla logica, e con opportune costruzioni di eventuali nuovi simboli e nuove definizioni sia di simboli che che di concetti, essi saranno funzionali agli assiomi specifici della teoria suddetta, per poi eventualmente produrre nuovi teoremi e risultati. Di solito le nuove teorie matematiche nascono a partire da una ( o più) Teoria/e precedente/i, ma abbiamo già visto che comunque andando a ritroso si ritrova sempre la teoria degli insiemi che è la base.
Questo fa intuire che è proprio dalla teoria degli insiemi che si possono costruire tutte (o quasi) le teorie matematiche operando solo con gli oggetti della teoria degli insiemi in maniera corretta cioè non sforando le regole generali dettate dalla logica, e con opportune costruzioni di eventuali nuovi simboli e nuove definizioni sia di simboli che che di concetti, essi saranno funzionali agli assiomi specifici della teoria suddetta, per poi eventualmente produrre nuovi teoremi e risultati. Di solito le nuove teorie matematiche nascono a partire da una ( o più) Teoria/e precedente/i, ma abbiamo già visto che comunque andando a ritroso si ritrova sempre la teoria degli insiemi che è la base.
Ciao, scusa se ti rispondo adesso, è da un po che manco dal forum. Ne approfitto perché vorrei capire bene, prima di leggere i testi specifici, devo chiarirmi bene le idee altrimenti non riesco ad apprendere ciò che è scritto perché ora ho in testa una mia fissa e devo prima cercare di comprendere. Volevo quindi chiederti se potevi farmi luce.
Prima domanda) E' appurato che ogni teoria metematica (probabilità, spazi vettoriali, geometria differenziale, topologia ecc.) si esprime col linguaggio della teoria degli insiemi. Quest'ultima a sua volta si esprime col linguaggio della logica e specificatamente con logica del primo ordine in genere (come ad esempio gli assiomi ZFC), l'appartenenza altri non è che una proposizione. Dunque la matematica dovrebbe fondarsi sulla logica. E' questo che in prima battuta si è condotti a dire, giusto? Se si vuoi si tratta di una visione logicista (alla Frege, Russel ecc.). "Accantoniamo", per un minuto, l'insorgenza delle antinomie. In questa prospettiva (correggimi se sbaglio) l'intera matematica va fondata sul concetto primitivo di proposizione. Dunque si può introdurre tutta la logica proposizionale ($P\toQ, P\wedge Q$ ecc.) tramite degli assiomi quali quelli usati da Frege o quelli di Hilbert Ackermann. In oltre introduciamo anche la logica predicativa in tal modo in cui ad esempio $\forall x P(x)$ viene visto globalmente come un'unica proposizione. In tal modo non si dovrebbe parlare di insiemi di connettivi, quantificatori ecc., non vengono usati simboli o funzioni dimodoché l'unico concetto primitivo alla base è solo quello di proposizione e non si fa appello al linguaggio della teoria degli insiemi (solitamente una teoria formale viene indicata come l'insieme delle variabili, connettivi ecc. ) CHE DEVE ESSERE ANCORA COSTRUITA dalla logica (altrimenti avremmo un gatto che si mangia la coda). In questo modo però non riesco ad introdurre i valori di verità. Occorrerebbe per lo meno il concetto di funzione dall'insieme delle formule ben formate a {0,1}, ma anche qui di nuovo la teoria degli insiemi deve essere ancora costruita. A meno che "la proposizione $P$ è vera" possa considerarla come una proposizione. I valori di verità mi servono per introdurre rigorosamente le tautologie e quindi definire assiomaticamente il principio del terzo escluso per la logica classica. In questa ottica (se corretta) è giusto se una volta fissati gli assiomi della logica, introduco gli assiomi degli insiemi, costruisco i numeri naturali e soltanto adesso studio la coerenza della logica che ho costruito? O è di nuovo un gatto che si mangia la coda? La domanda è data dal fatto che in tutti i libri di logica vengono usati subito nel sistema formale i numeri naturali ancor prima di essere costruiti con la teoria degli insiemi (come ad esempio nelle formule ben formate e addirittura in dimostrazioni sul sistema formale o dimostrazioni di metateoremi).
Seconda domanda) Per la fissa che ho in mente, ovvero quella di fondare tutto sul concetto primitivo di proposizione, non riesco bene a comprendere l'approccio formalista hilbertiano: ovvero adottare delle stringhe di simboli senza senso. Io associo questa idea alla teoria insiemi. In questa maniera non vi è alcun concetto primitivo su cui fondare l'intero discorso.
Scusa, ne è venuto fuori un papiro, comunque se mi puoi far luce te ne sarei grato.
Prima domanda) E' appurato che ogni teoria metematica (probabilità, spazi vettoriali, geometria differenziale, topologia ecc.) si esprime col linguaggio della teoria degli insiemi. Quest'ultima a sua volta si esprime col linguaggio della logica e specificatamente con logica del primo ordine in genere (come ad esempio gli assiomi ZFC), l'appartenenza altri non è che una proposizione. Dunque la matematica dovrebbe fondarsi sulla logica. E' questo che in prima battuta si è condotti a dire, giusto? Se si vuoi si tratta di una visione logicista (alla Frege, Russel ecc.). "Accantoniamo", per un minuto, l'insorgenza delle antinomie. In questa prospettiva (correggimi se sbaglio) l'intera matematica va fondata sul concetto primitivo di proposizione. Dunque si può introdurre tutta la logica proposizionale ($P\toQ, P\wedge Q$ ecc.) tramite degli assiomi quali quelli usati da Frege o quelli di Hilbert Ackermann. In oltre introduciamo anche la logica predicativa in tal modo in cui ad esempio $\forall x P(x)$ viene visto globalmente come un'unica proposizione. In tal modo non si dovrebbe parlare di insiemi di connettivi, quantificatori ecc., non vengono usati simboli o funzioni dimodoché l'unico concetto primitivo alla base è solo quello di proposizione e non si fa appello al linguaggio della teoria degli insiemi (solitamente una teoria formale viene indicata come l'insieme delle variabili, connettivi ecc. ) CHE DEVE ESSERE ANCORA COSTRUITA dalla logica (altrimenti avremmo un gatto che si mangia la coda). In questo modo però non riesco ad introdurre i valori di verità. Occorrerebbe per lo meno il concetto di funzione dall'insieme delle formule ben formate a {0,1}, ma anche qui di nuovo la teoria degli insiemi deve essere ancora costruita. A meno che "la proposizione $P$ è vera" possa considerarla come una proposizione. I valori di verità mi servono per introdurre rigorosamente le tautologie e quindi definire assiomaticamente il principio del terzo escluso per la logica classica. In questa ottica (se corretta) è giusto se una volta fissati gli assiomi della logica, introduco gli assiomi degli insiemi, costruisco i numeri naturali e soltanto adesso studio la coerenza della logica che ho costruito? O è di nuovo un gatto che si mangia la coda? La domanda è data dal fatto che in tutti i libri di logica vengono usati subito nel sistema formale i numeri naturali ancor prima di essere costruiti con la teoria degli insiemi (come ad esempio nelle formule ben formate e addirittura in dimostrazioni sul sistema formale o dimostrazioni di metateoremi).
Seconda domanda) Per la fissa che ho in mente, ovvero quella di fondare tutto sul concetto primitivo di proposizione, non riesco bene a comprendere l'approccio formalista hilbertiano: ovvero adottare delle stringhe di simboli senza senso. Io associo questa idea alla teoria insiemi. In questa maniera non vi è alcun concetto primitivo su cui fondare l'intero discorso.
Scusa, ne è venuto fuori un papiro, comunque se mi puoi far luce te ne sarei grato.
Ti abbiamo risposto in tanti, a chi ti stai rivolgendo?
La mia opinione rimane quella che ti avevo esposto nel precedente intervento: la logica è oggetto matematico di studio e si studia usando gli strumenti matematici a disposizione. In particolare, non è possibile introdurre la logica senza usare una sorta di ragionamento logico (metalinguaggio). Se tu imponi che questa Logica (L maiuscola) e questo "ragionamento logico" siano la stessa cosa allora non puoi più fare logica, perché rimani bloccato nel concetto da te più volte espresso di "gatto che si mangia la coda". E' una questione fondazionale, quindi per come la vedo io, non risolvibile nei termini canonici (cioè facendo ricorso agli assiomi - appunto perché li vogliamo introdurre). Ci sono delle basi da cui partire per fare matematica, e che è utile accettare per poter fare matematica. Dopodiché, la logica (matematica) è parte della matematica quindi anche lei non può prescindere da queste basi.
Non è possibile introdurre in modo indipendente un linguaggio che spieghi le proprie stesse basi. Penso che il teorema di Goedel dica proprio questo. Se vuoi un'introduzione molto divulgativa mi era piaciuta una lezione su youtube di Odifreddi che parla del teorema di Goedel, prova a cercare.
La mia opinione rimane quella che ti avevo esposto nel precedente intervento: la logica è oggetto matematico di studio e si studia usando gli strumenti matematici a disposizione. In particolare, non è possibile introdurre la logica senza usare una sorta di ragionamento logico (metalinguaggio). Se tu imponi che questa Logica (L maiuscola) e questo "ragionamento logico" siano la stessa cosa allora non puoi più fare logica, perché rimani bloccato nel concetto da te più volte espresso di "gatto che si mangia la coda". E' una questione fondazionale, quindi per come la vedo io, non risolvibile nei termini canonici (cioè facendo ricorso agli assiomi - appunto perché li vogliamo introdurre). Ci sono delle basi da cui partire per fare matematica, e che è utile accettare per poter fare matematica. Dopodiché, la logica (matematica) è parte della matematica quindi anche lei non può prescindere da queste basi.
Non è possibile introdurre in modo indipendente un linguaggio che spieghi le proprie stesse basi. Penso che il teorema di Goedel dica proprio questo. Se vuoi un'introduzione molto divulgativa mi era piaciuta una lezione su youtube di Odifreddi che parla del teorema di Goedel, prova a cercare.
mi riferivo a Livius, adesso non ho tempo, dopo cerco di mostrare quello che ho in mente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo