Definizione formale di parentesizzazione di una tupla

[caulacau]

Se $m : M \times M \to M$ è un'operazione interna che rende $M$ un magma (da ora in poi "il prodotto in $M$"), $n\ge 1$ è un numero naturale, ed \(\vec a = \{a_1,\dots, a_n\} \subseteq M\) una tupla di elementi di $M$, date la definizione di una "parentesizzazione" della tupla di elementi, ossia una definizione formale per una scelta di parentesi che associ in certa maniera il prodotto di tutti gli elementi della tupla \(\vec a\).

No, non c'è già in Bourbaki.

[anto_zoolander]

non vorrei sparare la fesseria dell'anno ma porre $a)b:=(a*b)$, definire $)_(i=1)^(n)a_i$ induttivamente e privilegiare che la parentesi venga assegnata da $a$ verso $b$ può aver senso? sempre se ho capito bene la domanda

[marco2132k]

Sì, credo che definirei induttivamente per ogni tupla \( \left\{a_i:i\leqq n\right\} \) di \( n \) elementi del magma una funzione \( \mathfrak p \) \[
\begin{align*}
\mathfrak p_{{\mathbin m}}\left(\left\{a_1\right\}\right) &= a_1\\
\mathfrak p_{{\mathbin m}}\left(\left\{a_1,a_2\right\}\right) &= a_1\mathbin{m}a_2\\
\mathfrak p_{{\mathbin m}}\left(\left\{a_i:i\leqq n\right\}\right) &=\mathfrak p\left(\left\{a_i:i\leqq n\right\}\setminus\left\{a_{n-1},a_n\right\}\cup\left\{a_{n-1}\mathbin{m}a_n\right\}\right)
\end{align*}
\] associativa a destra. Però non so se ci sia anche un modo univoco o standard per definire un prodotto di più di due elementi partendo da un'operazione binaria non necessariamente associativa, quindi boh.

Altrimenti, una "parentesizzazione astrtatta" non può essere semplicemente una qualche funzione dal semigruppo (o monoide, se vogliamo includere la parentesizzazione nulla) libero su \( M \) in \( M \) stesso? Alla fine \( \mathfrak p_{{\mathbin m}} \) lo è.

Ciò che intendo dire è che, detto \( P\left(\vec a\right) \) l'insieme di tutti i prodotti di \( \vec a=\left\{a_i:i\leqq n\right\} \), una parentesizzazione potrebbe essere una funzione \( \mathfrak p\colon M^*\to M \) dal monoide libero su \( M \) in \( M \) stesso, tale che \( \mathfrak p\left(\vec a\right)\in P\left(\vec a\right)\).

[caulacau]

Perché hai bisogno di un monoide, perché avete messo il commento in spoiler, perché dovrebbe essere associativa a destra la funzione \(\mathfrak p_m\) (e anche: non parentesizzi un set ma una tupla, l'ordine conta)?

Formale significa formale se c'è un'idea (e ci mancherebbe che un'idea c'è, per una operazione così semplice), poi bisogna renderla formale.

Ho detto che non c'è in Bourbaki, ma tenete quella esposizione come arbitro di eleganza.

[Indrjo Dedej]

"caulacau":date la definizione di una "parentesizzazione" della tupla di elementi, ossia una definizione formale per una scelta di parentesi che associ in certa maniera il prodotto di tutti gli elementi della tupla \(\vec a\).

Io non ho ben capito cosa chiedi...

[caulacau]

Se $n=2$ le parentesizzazioni di $ab$ sono una sola, $ab:=m(a,b)$. Esse si dispongono in un punto,

[tex]\xymatrix{
\underset{ab}\bullet
}[/tex]

Se $n=3$, le parentesizzazioni di $abc$ sono due, $a(bc)$ e $(ab)c$. Esse si dispongono in un segmento

[tex]\xymatrix@M=-2mm{
\underset{(ab)c}\bullet \ar@{-}[r] & \underset{a(bc)}\bullet
}[/tex]

Se $n=4$, le parentesizzazioni di $abcd$ sono 5, e si dispongono in un pentagono:

[tex]\xymatrix@M=0mm{
&&\overset{(ab)(cd)}\bullet\ar@{-}[drr]\ar@{-}[dll]&&\\
**[l] {}_{((ab)c)d}\bullet \ar@{-}[dr]&&&& **[r] \bullet_{a(b(cd))}\\
&\underset{(a(bc))d}\bullet \ar@{-}[rr] && \ar@{-}[ur]\underset{a((bc)d)}\bullet
}[/tex]

Se $n=5$ le parentesizzazioni di $abcde$ si organizzano in questa figura tridimensionale:

[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c0/Associahedron_K5_back.svg[/img]

In generale, le parentesizzazioni di una $n$-upla di elementi di $M$ sono gli spigoli di un polìtopo $n-2$-dimensionale, che si chiama associaedro di Stasheff. Si può dimostrare che i vertici di un tale politopo $K_n$ sono in numero di $C_n$, l'$n$-esimo numero di Catalan. In altre parole, ad ogni intero $1\le k\le C_n$ corrisponde una ben precisa parentesizzazione \(\mathfrak p_k\) della tupla \((a_1,\dots, a_n)\).

Io voglio una definizione formale della funzione che enumera i vertici di $K_n$, o per meglio dire della funzione che associa all'intero $1\le k\le C_n$ la parentesizzazione corrispondente nella biiezione \(C_n \cong ((a_1,\dots, a_n))_{\mathfrak p}\).