Definizione di un insieme non chiara ( Sottogruppi )
Buonasera ragazzi.
Dopo aver verificato con successo che gli esercizi sulle strutture algebriche di cui avevo proposto la mia risoluzione erano corretti, vorrei chiedere una mano a proposito di alcune richieste di un esercizio in cui mi sono imbattuto questa sera, ve lo propongo:
E' dato l'insieme G = { id4 , ( 1 4 ) ( 2 3 ) , ( 1 2 ) ( 3 4 ) , ( 1 3 ) ( 2 4 ) }
a) dimostrare che G è un sottogruppo di S4
b) scrivere la tabella della moltiplicazione del gruppo G
c) stabilire se G è ciclico
Il primissimo problema è che non capisco come sia stato definito l'insieme G.
L'unica ipotesi più plausibile venutami in mente è che nella definizione dell'insieme siano stati indicati i cicli disgiunti ( ma a questo punto se 1 va in 4 e il 2 va nel 3 non potrebbe accadere che 1 vada in 2, mentre 3 vada in 4 allo stesso tempo , come indicato dai primi 2 gruppi di parentesi tonde adiacenti ) ....
E anche questo id4.... non riesco a venirne a capo. Anche se mi ricorda tanto un esercizio in cui bisognava ricavare i sottogruppi ciclici, per esempio in un insieme S6 così definito:
1 2 3 4 5 6
3 2 1 5 6 4
potrebbe essere qualcosa di simile?
Scoperto come è strutturato questo insieme G, dovrei riuscire facilmente a dimostrare che è un sottogruppo di S4 sfruttando la definizione: ( ovvero : sia (G, x ) un guppo, H contenuto in G ; allora H sottogruppo di G se e soltanto se sono verificate le 3 condizioni:
1) $ H != 0 $
2) $ AA x,y in H, x * y in H $
3) $ AA x in H, x^(-1) in H $
Sarebbe corretto lo svolgimento del punto a) utilizzando quest'ultima dimostrazione?
Altrimenti la prof ci ha dato questa equivalente, costituita da soli 2 condizioni:
1) $ 1G in H $
2) $ AA x,y in H, x *(y)^(-1) in H $
Ma non ho ben chiaro cosa sia quel 1G, forse l'elemento neutro?
Il punto b) dovrebbe essere banale conoscendo gli elementi ( i numeri ) da cui è formato G
Per quanto riguarda il punto c), stabilire se G è ciclico, userei la definizione per cui G è ciclico se ha almeno un generatore. ( possibile farlo, però, solo conoscendo i numeri da cui è composto questo G .... ancora una volta si torna all'inizio del problema...
Sapreste aiutarmi nel farmi capire com'è fatto questo insieme G? Non ho mai visto definire un insieme in quel modo?
Inoltre, è valida la strategia risolutiva che ho pianificato per i punti a,b,c ?
Grazie in anticipo a chi potrà aiutarmi.
Dopo aver verificato con successo che gli esercizi sulle strutture algebriche di cui avevo proposto la mia risoluzione erano corretti, vorrei chiedere una mano a proposito di alcune richieste di un esercizio in cui mi sono imbattuto questa sera, ve lo propongo:
E' dato l'insieme G = { id4 , ( 1 4 ) ( 2 3 ) , ( 1 2 ) ( 3 4 ) , ( 1 3 ) ( 2 4 ) }
a) dimostrare che G è un sottogruppo di S4
b) scrivere la tabella della moltiplicazione del gruppo G
c) stabilire se G è ciclico
Il primissimo problema è che non capisco come sia stato definito l'insieme G.
L'unica ipotesi più plausibile venutami in mente è che nella definizione dell'insieme siano stati indicati i cicli disgiunti ( ma a questo punto se 1 va in 4 e il 2 va nel 3 non potrebbe accadere che 1 vada in 2, mentre 3 vada in 4 allo stesso tempo , come indicato dai primi 2 gruppi di parentesi tonde adiacenti ) ....
E anche questo id4.... non riesco a venirne a capo. Anche se mi ricorda tanto un esercizio in cui bisognava ricavare i sottogruppi ciclici, per esempio in un insieme S6 così definito:
1 2 3 4 5 6
3 2 1 5 6 4
potrebbe essere qualcosa di simile?
Scoperto come è strutturato questo insieme G, dovrei riuscire facilmente a dimostrare che è un sottogruppo di S4 sfruttando la definizione: ( ovvero : sia (G, x ) un guppo, H contenuto in G ; allora H sottogruppo di G se e soltanto se sono verificate le 3 condizioni:
1) $ H != 0 $
2) $ AA x,y in H, x * y in H $
3) $ AA x in H, x^(-1) in H $
Sarebbe corretto lo svolgimento del punto a) utilizzando quest'ultima dimostrazione?
Altrimenti la prof ci ha dato questa equivalente, costituita da soli 2 condizioni:
1) $ 1G in H $
2) $ AA x,y in H, x *(y)^(-1) in H $
Ma non ho ben chiaro cosa sia quel 1G, forse l'elemento neutro?
Il punto b) dovrebbe essere banale conoscendo gli elementi ( i numeri ) da cui è formato G
Per quanto riguarda il punto c), stabilire se G è ciclico, userei la definizione per cui G è ciclico se ha almeno un generatore. ( possibile farlo, però, solo conoscendo i numeri da cui è composto questo G .... ancora una volta si torna all'inizio del problema...
Sapreste aiutarmi nel farmi capire com'è fatto questo insieme G? Non ho mai visto definire un insieme in quel modo?
Inoltre, è valida la strategia risolutiva che ho pianificato per i punti a,b,c ?
Grazie in anticipo a chi potrà aiutarmi.
Risposte
[mod="Martino"]Ciao. Sei pregato di mettere un titolo che specifichi l'argomento di cui parli. Clicca su "modifica" nel tuo intervento. Grazie.[/mod]
"claw91":
Il primissimo problema è che non capisco come sia stato definito l'insieme G.
L'unica ipotesi più plausibile venutami in mente è che nella definizione dell'insieme siano stati indicati i cicli disgiunti ( ma a questo punto se 1 va in 4 e il 2 va nel 3 non potrebbe accadere che 1 vada in 2, mentre 3 vada in 4 allo stesso tempo , come indicato dai primi 2 gruppi di parentesi tonde adiacenti ) ....
L'elemento $(1,4)(2,3)$ lo puoi scrivere come $((1,2,3,4),(4,3,2,1))$
Similmente per gli altri elementi di $G$
1) $ 1G in H $
2) $ AA x,y in H, x *(y)^(-1) in H $
Ma non ho ben chiaro cosa sia quel 1G, forse l'elemento neutro?
Esattamente $1_G$ indica l'elemento neutro del gruppo. Nel caso specifico dovrai verificare che $1_(S_4) in G$, ma questo è vero perchè $id_4 in G$.
Quindi vuol dire che l'insieme G è formato da una serie di permutazioni?
Come si opera concretamente con un insieme definito in questa maniera?
Se fosse il classico insieme numerico riuscire tranquillamente a svolgere i 3 punti dell'esercizio... ma non saprei proprio come operare!
Potresti darmi un abbozzo dello svolgimento per i punti a, b e c per favore?
Come si opera concretamente con un insieme definito in questa maniera?
Se fosse il classico insieme numerico riuscire tranquillamente a svolgere i 3 punti dell'esercizio... ma non saprei proprio come operare!
Potresti darmi un abbozzo dello svolgimento per i punti a, b e c per favore?
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