Definizione di sottogruppo commutativo o abeliano
Salve,
e da parecchie settimane che studio algebra e geometria ma solamente ora mi soffermo su questo problema, ovvero la definizione di sottogruppo abeliano; potreste cortesemente fornirmela.
Cordiali saluti
e da parecchie settimane che studio algebra e geometria ma solamente ora mi soffermo su questo problema, ovvero la definizione di sottogruppo abeliano; potreste cortesemente fornirmela.
Cordiali saluti
Risposte
La stessa che utilizzi per i gruppi , ne più ne meno ! 
Salve,
ma il teorema è anche lo stesso?
Cordiali saluti
ma il teorema è anche lo stesso?
Cordiali saluti
Quale teorema?
Salve,
Teorema: dato un gruppo $ (G;f) $ con $ G $ sostegno ed insieme qualunque diverso dall'insieme vuoto, $ G != O/ $, ed $ A sube G $ con $ A != O/ $, $ (A;f) $ è sottogruppo di $ (G;f) $ se e soltanto se $ AA x,y in A:(xfdot(y) ) in A $, ove $ dot(y) $ è il simmetrico, rispetto alla legge di composizione interna binaria $ f $ , di $ y $.
Cordiali saluti
Teorema: dato un gruppo $ (G;f) $ con $ G $ sostegno ed insieme qualunque diverso dall'insieme vuoto, $ G != O/ $, ed $ A sube G $ con $ A != O/ $, $ (A;f) $ è sottogruppo di $ (G;f) $ se e soltanto se $ AA x,y in A:(xfdot(y) ) in A $, ove $ dot(y) $ è il simmetrico, rispetto alla legge di composizione interna binaria $ f $ , di $ y $.
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve,
Teorema: dato un gruppo $ (G;f) $ con $ G $ sostegno ed insieme qualunque diverso dall'insieme vuoto, $ G != O/ $, ed $ A sube G $ con $ A != O/ $, $ (A;f) $ è sottogruppo di $ (G;f) $ se e soltanto se $ AA x,y in A:(xfdot(y) ) in A $, ove $ dot(y) $ è il simmetrico, rispetto alla legge di composizione interna binaria $ f $ , di $ y $.
Cordiali saluti
Se [tex]$G$[/tex] è un gruppo abeliano, ogni suo sottogruppo è abeliano. Se invece [tex]$G$[/tex] non è abeliano, può capitare che, preso un sottogruppo, questo sia abeliano (p. es. il centro); non accade in generale.
Quel teorema che hai riportato fornisce un utile criterio per verificare che un sottoinsieme non vuoto di un gruppo è un sottogruppo. L'essere abeliano è una proprietà ulteriore.
Salve,
bè hai ragione perfettamente... dopo attente analisi ho chiarito alcune cose. Secondo voi quali sono i migliori libri di algebra e di teoria dei gruppi?
Cordiali saluti
bè hai ragione perfettamente... dopo attente analisi ho chiarito alcune cose. Secondo voi quali sono i migliori libri di algebra e di teoria dei gruppi?
Cordiali saluti
"Seneca":
Se invece [tex]$G$[/tex] non è abeliano, può capitare che, preso un sottogruppo, questo sia abeliano (p. es. il centro)
Per fare un esempio più visualizzabile...
Pensa al gruppo delle rotazioni nello spazio, detto [tex]$SO(3)$[/tex]: tale gruppo non è abeliano (perchè le rotazioni non commutano rispetto alla composizione: prova un po' con un libro); tuttavia se consideri le sole rotazioni attorno ad un asse fisso, queste formano un sottogruppo abeliano di [tex]$SO(3)$[/tex].
"gugo82":Per verificare sperimentalmente che le rotazioni tridimensionali non commutano l'ideale è usare un aeroplanino giocattolo. Prova a effettuare un rollio (clic) di 90° seguito da un beccheggio di 90° e da una imbardata sempre di 90°. Memorizza la posizione in cui sei arrivato e torna alla posizione iniziale. Ora esegui le tre rotazioni di prima in un ordine diverso. Ti accorgerai di arrivare in una posizione diversa.
prova un po' con un libro
Questo prova che $"SO"(3)$ non è un gruppo abeliano.
[OT]
Questo prova che $"SO"(3)$ non è un gruppo abeliano.[/quote]
A me, che non conosco la terminologia tecnica del volo, ruotare un libro lungo i suoi spigoli riesce più semplice (e bastano due soli movimenti per avere un buon controesempio).
[/OT]
"dissonance":Per verificare sperimentalmente che le rotazioni tridimensionali non commutano l'ideale è usare un aeroplanino giocattolo. Prova a effettuare un rollio (clic) di 90° seguito da un beccheggio di 90° e da una imbardata sempre di 90°. Memorizza la posizione in cui sei arrivato e torna alla posizione iniziale. Ora esegui le tre rotazioni di prima in un ordine diverso. Ti accorgerai di arrivare in una posizione diversa.
[quote="gugo82"]prova un po' con un libro
Questo prova che $"SO"(3)$ non è un gruppo abeliano.[/quote]
A me, che non conosco la terminologia tecnica del volo, ruotare un libro lungo i suoi spigoli riesce più semplice (e bastano due soli movimenti per avere un buon controesempio).
[/OT]
Hai ragione, bastano due movimenti! M'ero fissato che ce ne volessero tre. Comunque è solo una questione di linguaggio: usando questi termini tecnici si può descrivere per benino l'esperimento a parole, questo è tutto. Di sicuro io non sono un esperto di aeronautica! 
E poi l'aeroplanino giocattolo si può surrogare. Una penna BIC con un righello incastrato sotto il tappo è un esempio validissimo!
E poi l'aeroplanino giocattolo si può surrogare. Una penna BIC con un righello incastrato sotto il tappo è un esempio validissimo!
"garnak.olegovitc":
Salve,
bè hai ragione perfettamente... dopo attente analisi ho chiarito alcune cose. Secondo voi quali sono i migliori libri di algebra e di teoria dei gruppi?
Cordiali saluti
Sono due domande diverse... Rispondo con risposte standard per il tuo livello:
Piacentini Cattaneo. Algebra - un approccio algoritmico. è un libro semplice che usano in molti anche se non l'ho mai usato. Per uno che ha difficoltà con questi argomenti è l'ideale perché ha una curva di apprendimento abbastanza bassa.
Herstein, algebra - questo è un classico, un po' più avanzato ma sono in molti ad averlo amato.
Artin, Algebra - è un buon libro, con una struttura un po' più atipica (inizia con le matrici). Non so se è ancora pubblicato in italiano.
Poi ci sono quelli in inglese...
Per i gruppi, in italiano, direi il Machì, gruppi. Che andrebbe aventualmente affiancato al suo libro sugli anelli. In inglese ce ne sono molti.
P.S: ho scritto solo quelli in italiano perché ho pensato preferissi quelli. Io sono passato subito all'inglese.
Salve,
per teoria dei gruppi mi hanno consigliato il "Kuros", secondo voi com'è?
Cordiali saluti
per teoria dei gruppi mi hanno consigliato il "Kuros", secondo voi com'è?
Cordiali saluti
Si, l'Artin c'è in italiano e lo trovo ben fatto, però lo affiancherei all'Heirstein (da quel poco che ho visto fino ad ora).
"garnak.olegovitc":
Salve,
per teoria dei gruppi mi hanno consigliato il "Kuros", secondo voi com'è?
Cordiali saluti
E' stato il professore? Perché io lo trovo un po'... datato come impostazione (è in inglese e del 60). E' stato scritto quando ancora tutta la classificazione dei gruppi semplici finiti era ancora agli inizi (o forse neanche iniziata). Per i libri in inglese sono meglio Rotman, Robinson, Hall (un po' più datato e una notazione un po' più incostante) anche se più avanzati. Uu buon libro introduttivo è Anderson, groups and symmetry. Per gli esercizi invece esiste una "bibbia": Dixon, Problems in group theory (che costa anche molto poco).
Comunque il machì è un libro abbastanza buono. Ovvio che nessun libro sulla teoria dei gruppi è nato come primo libro. Generalmente incominci su un libro come l'hernstein e poi passi a qualcosa di più corposo. A dire il vero dubito che per il primo corso di algebra tu abbia bisogno di andare oltre l'Herstein o l'Artin (e neanche il piacentini cattaneo). Eventualmente passi persino per libri di algebra mano elementari come Lang, Jacobson o MacLane (un libro molto particolare).
P.S: Il nome è Kurosh.
http://www.amazon.com/Theory-Groups-AMS ... 0828401071 (vedi il commento qui)
"GundamRX91":
Si, l'Artin c'è in italiano e lo trovo ben fatto, però lo affiancherei all'Heirstein (da quel poco che ho visto fino ad ora).
Ricordavo che c'era ma ricordavo qualche commento sulla sua difficoltà a trovarlo e quindi non sapevo se lo stampavano ancora. Un mio amico lo aveva comprato in inglese.
"vict85":
[quote="GundamRX91"]Si, l'Artin c'è in italiano e lo trovo ben fatto, però lo affiancherei all'Heirstein (da quel poco che ho visto fino ad ora).
Ricordavo che c'era ma ricordavo qualche commento sulla sua difficoltà a trovarlo e quindi non sapevo se lo stampavano ancora. Un mio amico lo aveva comprato in inglese.[/quote]
Io ho comprato la versione italiana verso settembre dello scorso anno, ordinandolo da libreriauniversitaria.it.
Su quel libro c'è di tutto di più. Però la scelta didattica è buona. Nelle prime pagine l'autore stesso consiglia un iter conveniente per lo studente con tutte le esigenze del caso, affinché non debba leggersi il malloppo per intero.
Come testi può provare la collana sulla teoria dei gruppi di Zappa . Per il resto bisogna sempre settorizzare , nel senso che ogni reparto d'algebra presenta determinati testi di maggior o minor riferimento Per la parte numerica , puoi far riferimento ad "Aritmetica superiore" di Davenport . Se ne vuoi un estratto globale , ti consiglio un testo "usuale" per un corso d'algebra 1 , modello università di matematica, " Elementi di algebra" di Franciosi de Giovanni . Saluti
Per la parte numerica , puoi far riferimento ad "Aritmetica superiore" di Davenport . Se ne vuoi un estratto globale , ti consiglio un testo "usuale" per un corso d'algebra 1 , modello università di matematica, " Elementi di algebra" di Franciosi de Giovanni . Saluti
Per quanto riguarda la teoria dei Gruppi segnalo il Machì, io l'ho acquistato recentemente, personalmente lo trovo semplice e chiaro dal punto di vista espositivo, inoltre ho constatato che é ricco di molti esercizi(alcuni dei quali presenti anche nell'Herstein), di cui é
riportata la soluzione.
riportata la soluzione.
"menale":
Come testi può provare la collana sulla teoria dei gruppi di Zappa . Per il resto bisogna sempre settorizzare , nel senso che ogni reparto d'algebra presenta determinati testi di maggior o minor riferimento
Non li conosco, tranne Davenport che non considererei numerico quanto più di teoria dei numeri (con numerica si fa riferimento ad analisi numerica in genere). Peraltro è un po' datato.
P.S: Ho dato un occhiata a Zappa e a parte la difficoltà a reperirlo immagino sia datato per le stesse ragioni del Kurosh.
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