Definizione di regulator di anello degli interi
Qualcuno mi potrebbe spiegare l'intuizione dietro il regulator di un anello degli interi?
Sia \( (r-1)\)-upla \( ( \epsilon_1,\ldots,\epsilon_{r-1} ) \in (\mathcal{O}_K^{\times})^{r-1} \) tale che
\[ \operatorname{Log}_{\infty} ( \epsilon_1,\ldots,\epsilon_{r-1} ):= ( \operatorname{Log}_{\infty} \epsilon_1,\ldots, \operatorname{Log}_{\infty} \epsilon_{r-1} )) \]
è una \( \mathbb{Z}\)-base di \( \operatorname{Log}_{\infty}(\mathcal{O}_K^{\times}) \) è chiamata un sistema di unità fondamentali.
Il regolatore di \( \mathcal{O}_K \) è definito come
\[ \operatorname{reg}(\mathcal{O}_K) := \operatorname{vol} \left( \sum_{i=1}^{r-1} \mathbb{Z} \operatorname{Log}_{\infty}(\epsilon_i) \right) \]
dove il volume in \( H(\mathbb{R} ) \) è calcolato rispetto ad una base ortonormale di \(H(\mathbb{R} ) \) di \( \mathbb{R}^r \). Dove
\[ H(\mathbb{R}) = \ker T = \{ (\ell_1,\ldots,\ell_r) \in \mathbb{R}^r , T(\ell_1,\ldots,\ell_r)=\sum_{i=1}^{r} \ell_i = 0 \} \]
Non capisco cos'è troppo il significato di \( \operatorname{Log}_{\infty} \) e non capisco troppo cosa significhi volume in questo contesto, ne che informazione mi dovrebbe dare questo regulator, inoltre come fa a dire che esiste sempre una \(r-1\)-upla di unità fondamentali ?
Sia \( (r-1)\)-upla \( ( \epsilon_1,\ldots,\epsilon_{r-1} ) \in (\mathcal{O}_K^{\times})^{r-1} \) tale che
\[ \operatorname{Log}_{\infty} ( \epsilon_1,\ldots,\epsilon_{r-1} ):= ( \operatorname{Log}_{\infty} \epsilon_1,\ldots, \operatorname{Log}_{\infty} \epsilon_{r-1} )) \]
è una \( \mathbb{Z}\)-base di \( \operatorname{Log}_{\infty}(\mathcal{O}_K^{\times}) \) è chiamata un sistema di unità fondamentali.
Il regolatore di \( \mathcal{O}_K \) è definito come
\[ \operatorname{reg}(\mathcal{O}_K) := \operatorname{vol} \left( \sum_{i=1}^{r-1} \mathbb{Z} \operatorname{Log}_{\infty}(\epsilon_i) \right) \]
dove il volume in \( H(\mathbb{R} ) \) è calcolato rispetto ad una base ortonormale di \(H(\mathbb{R} ) \) di \( \mathbb{R}^r \). Dove
\[ H(\mathbb{R}) = \ker T = \{ (\ell_1,\ldots,\ell_r) \in \mathbb{R}^r , T(\ell_1,\ldots,\ell_r)=\sum_{i=1}^{r} \ell_i = 0 \} \]
Non capisco cos'è troppo il significato di \( \operatorname{Log}_{\infty} \) e non capisco troppo cosa significhi volume in questo contesto, ne che informazione mi dovrebbe dare questo regulator, inoltre come fa a dire che esiste sempre una \(r-1\)-upla di unità fondamentali ?
Risposte
Mi sembra che la pagina di Wikipedia sul teorema di Dirichlet fornisca esattamente le spiegazioni che vuoi.
Grazie. 
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