Definizione di "caratteristica di un \( a \in A\)" & "caratteristica di \( A \)".. con \(A\) un anello

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
come sempre il testo "Corso di Geometria di Marius Ion Stoka" mi sorprende per le sue definizioni "curiose"... ergo vorrei avere più che altro conferma di alcune (scritte come mi è più familiare pensare):

Def.1.0: siano dati \(A\) un anello, \(d \in A-\{0_{+_A}\}\), e \(n \in \Bbb{N}-\{0\}\), diche che "\(n\) è caratteristica di \(d\)" se $$ \sum_{i=1}^na_i=0_{+_A} \wedge a_1=a_2=\cdots=a_n=d$$ Def.1.1: siano dati \(A \) un anello, e \(d \in A-\{0_{+_A}\}\), dicesi che "\(\infty\) è caratteristica di \(d\)" se $$\nexists n \in \Bbb{N}-\{0\} \left (n \text{ è caratteristica di } d\right)$$ Def.2.0: siano dati \(A\) un anello, e \(n \in \Bbb{N}-\{0\}\), dicesi che "\(n\) è caratteristica di \(A\)" se $$n=\min\{d \in \Bbb{N}-\{0\}\mid\forall x \in A-\{0_{+_A}\}(d\text{ è caratteristica di } x)\} $$ Def.2.1: siano dati $A$ un anello, e \(n \in \Bbb{N}-\{0\}\), dicesi "\(\infty\) è caratteristica di \(A\)" if $$\nexists n \in \Bbb{N}-\{0\}(n \text{ è caratteristica di } A)$$ Ringrazio in anticipo chiunque voglia smentire/confermare/suggerire/correggere quanto ho scritto (sperando di non aver fatto errori grossolani )...

Saluti

[Epimenide93]

"garnak.olegovitc":Def.1.0 (...)

Immagino che tu abbia dimenticato un $=d$ da qualche parte. In ogni caso questa non è una buona definizione, dato che stai definendo $n$ a meno di suoi multipli interi non nulli. Inoltre più che quantificare gli elementi (che dovresti supporre uguali a $d$, che a sua volta stai supponendo esista) dovresti quantificare $n$. Insomma, non è il caso di porre la questione in questi termini.

Direi che, dato \( A \) anello, si definisce caratteristica di \( d \in A \setminus \{0_A\} \)[nota]vado a memoria, ma la convenzione di non considerare lo zero dell'anello non dovrebbe essere necessaria, ma solo comoda per poter enunciare determinate proprietà risparmiandosi costruzioni complicate.[/nota]

\[
\min \{n \in \mathbb{N} | nd = 0_A\}
\]

se esiste finito, altrimenti si dice che \( d \) ha caratteristica \( 0 \).

"garnak.olegovitc":
Def.1.1 (...)

Questa potrebbe andar bene come definizione, ma in tal caso si dice che la caratteristica è \( 0 \).

"garnak.olegovitc":Def.2.0 (...)
Def.2.1 (...)

Definita la caratteristica di un elemento, si dice caratteristica dell'anello \( A \) la caratteristica dell'unità moltiplicativa di \( A \).

[garnak.olegovitc1]

@Epimenide93,

"Epimenide93":
Immagino che tu abbia dimenticato un $=d$ da qualche parte. In ogni caso questa non è una buona definizione, dato che stai definendo $n$ a meno di suoi multipli interi non nulli. Inoltre più che quantificare gli elementi (che dovresti supporre uguali a $d$, che a sua volta stai supponendo esista) dovresti quantificare $n$. Insomma, non è il caso di porre la questione in questi termini.

Direi che, dato \( A \) anello, si definisce caratteristica di \( d \in A \setminus \{0_A\} \)[nota]vado a memoria, ma la convenzione di non considerare lo zero dell'anello non dovrebbe essere necessaria, ma solo comoda per poter enunciare determinate proprietà risparmiandosi costruzioni complicate.[/nota]

\[
\min \{n \in \mathbb{N} | nd = 0_A\}
\]

se esiste finito, altrimenti si dice che \( d \) ha caratteristica \( 0 \).

si scusa, mi sono accorto che mancava \(=d \) un istante prima che rispondessi.. (il testo scriveva in un mondo, giusto intuitivamente, ma volevo complicarmi un pò la vita) sorry!

Sul fatto di quantificare \(n\) non riesco a capire, intendi sicuramente "esistenzialmente".. ma così facendo, penso, di definire quando \( d \) ha caratteristica intera non nulla e non chi è esattamente quest'ultima.. mi sfugge qualcosa o penso male?

"Epimenide93":
[quote="garnak.olegovitc"]
Def.1.1 (...)

Questa potrebbe andar bene come definizione, ma in tal caso si dice che la caratteristica è \( 0 \).[/quote]

meno male, almeno in questa!

"Epimenide93":
[quote="garnak.olegovitc"]Def.2.0 (...)
Def.2.1 (...)

Definita la caratteristica di un elemento, si dice caratteristica dell'anello \( A \) la caratteristica dell'unità moltiplicativa di \( A \).[/quote]

ok, ho letto di questa definizione.. quindi non sai se ho scritto bene o male, almeno, la Def.2.0? A dire il vero sono andato ad interpretare il testo.. (forse è meglio che metta le immagini di almeno questa parte per evitare di scrivere cose mal-interpretate)

Thanks della risposta! Saluti!

edit: miseriaccia.. l'autore scriveva bene nella Def.1.0 il fatto di prendere il minimo solo che le pagine sono sbiadite e l'occhio ha fatto finta di non vedere.. quindi thanks della correzione!

[garnak.olegovitc1]

Purtroppo il testo è troppo sbiadito, e non vengono bene le foto.. preferisco scrivere quanto vi è scritto:

"M.I.Stoka":
Definizione 18. - Sia \((A,+,\cdot)\) un anello ed \(x \in A^\star\) [nota]specifico che \(A^\star=A-\{0\}\)[/nota]. Se esiste un minimo numero naturale non nullo \(n\) tale che

\(\overbrace{ x+...+x }^{n}=nx=0\)

si dice che \(x \) ha caratteristica \(n\). Se invece la relazione \(nx=0\) non è soddisfatta da alcun naturale non nullo, si dice che \(x \) ha caratteristica zero (od infinita) in \(A\). Il minimo naturale non nullo \(N\) che

\(\forall x \in A^\star, \quad Nx=0\)

si dice caratteristica di \((A,+,\cdot)\).
Se non esiste alcun naturale non nullo \(m\) tale che

\(\forall x \in A^\star, \quad mx=0\)

si dice che \((A,+,\cdot)\) ha caratteristica zero (od infinita)

personalmente non mi piace scrivere \(Nx\) o \(nx \) o \(mx\), a livello mentale mi crea ambiguità... ergo ho preferito la mastodontica scrittura \( \sum_{i=1}^na_i \wedge a_1=a_2=...=a_n \) ( molti altri usano \( \sum_{i=1}^n d\))..

quindi per Def.1.0 e Def.1.1 ci siamo chiariti (e thanks ancora per la correzione).. (almeno) la Def.2.0 stando a quanto scrive Stoka come potresti scriverla? Ti ringrazio in anticipo! Saluti

[Epimenide93]

"garnak.olegovitc":Sul fatto di quantificare \(n\) non riesco a capire, intendi sicuramente "esistenzialmente"

Esatto. La prima volta avevo scritto "esistenziare", ma il mio senso estetico mi ha tirato un destro nello stomaco.

"garnak.olegovitc":ma così facendo, penso, di definire quando \( d \) ha caratteristica intera non nulla e non chi è esattamente quest'ultima.. mi sfugge qualcosa o penso male?

Non capisco troppo bene la domanda, ma pensa a \( \mathbb{Z}_3\):
\[
0 = 1+1+1 = 1+1+1+1+1+1 = (-1) + (-1) + (-1) = \ldots
\]

"garnak.olegovitc":ok, ho letto di questa definizione.. quindi non sai se ho scritto bene o male, almeno, la Def.2.0?

La definizione è mal posta, perché "caratteristica" non indica un qualsiasi multiplo che fa annullare l'elemento, ma il minimo.

Quanto alle notazioni... De gustibus non disputandum.

[garnak.olegovitc1]

@Epimenide93,
ok.. taglio la testa al toro, e seguo il tuo consiglio, dicendo che l'anello ha caratteristica \(n\) se l' elemento neutro moltiplicativo ha caratteristica \(n\), mentre l'anello ha caratteristica "zero" se l'elemento neutro moltiplicativo ha caratteristica "zero".. corretto? Grazie in anticipo!
Saluti

[Epimenide93]

Sì, questa è la definizione "standard", con questa vai sul sicuro quanto a correttezza

[garnak.olegovitc1]

Perfetto! Grazie ancora!!

[vict85]

"garnak.olegovitc":personalmente non mi piace scrivere \(Nx\) o \(nx \) o \(mx\), a livello mentale mi crea ambiguità... ergo ho preferito la mastodontica scrittura \( \sum_{i=1}^na_i \wedge a_1=a_2=...=a_n \) ( molti altri usano \( \sum_{i=1}^n d\))..

Non vi è ambiguità perché supponendo che \(\displaystyle A \) sia un anello unitario, cosa che è molto comune, si ha che \(\displaystyle a + a + \dotsb + a = (1 + 1 + \dotsb + 1)a = na \).

In questo senso la caratteristica di \(\displaystyle A \) è, per \(\displaystyle A \) unitario, la caratteristica di \(\displaystyle 1 \).

Nel caso di anelli non unitari penso che l'anello potrebbe avere anche ogni elemento di caratteristica finita e ma non esserlo lui stesso.

[garnak.olegovitc1]

@vict85,

"vict85":

In questo senso la caratteristica di \(\displaystyle A \) è, per \(\displaystyle A \) unitario, la caratteristica di \(\displaystyle 1 \).

Nel caso di anelli non unitari penso che l'anello potrebbe avere anche ogni elemento di caratteristica finita e ma non esserlo lui stesso.

Thanks della risposta ! Già.. mi era sfuggito il fatto che nella definizione di caratteristica di \( A \) devo avere \( A \) unitario... però fai bene osservare che \(A \) non sempre può essere unitario ergo mi domando "se \(A \) è non unitario ha ancora senso parlare di caratteristica di \(A \)?" Se si, mi domando ulteriormente, se \(A \) non unitario (come hai scritto) può avere caratteristica non finita, "qual'è la definizione di caratteristica di \(A \) qualora \(A \) è non unitario?"
Ringrazio anticipatamente!
Saluti

[vict85]

È quella presentata da Stoka.

[garnak.olegovitc1]

@vict85,

"vict85":È quella presentata da Stoka.

rieccomi.. ok, vediamo se ho capito bene, in definitiva avrò, seguendo lo Stoka, che

la caratteristica di un anello \(A \) è il minimo intero non nullo \(n\) che è caratteristica di ogni elemento di \( A^\star\) (o: è il minimo intero non nullo \(n\) tale ogni elemento di \( A^\star\) ha caratteristica \(n\))

penso/dico/scrivo bene?

Ringrazio anticipatamente!

Saluti