Definizione di polinomio
mi è sorto un dubbio..ma per definizione di polinomio posso dire che 0 è un polinomio?
Risposte
Un polinomio a coefficienti in un anello è una successione in quell'anello con quasi tutti i termini uguali a 0. In particolare, la successione identicamente nulla è un polinomio (che corrisponde al tuo 0).
$f(x)=0$ è un polinomio, ma è l'unico polinomio per il quale non è definito il concetto di grado.
Forzando un po' il concetto, si potrebbe dire che anche un sistema lineare omogeneao a un'incognita è un polinomio?....è un polinomio grado 1.
"qxtr01":
$f(x)=0$ è un polinomio, ma è l'unico polinomio per il quale non è definito il concetto di grado.
L'altra campana dice che 0 ha grado $-infty$... a volte torna utile.
Durante la discussione di una delle mie due tesine (a Padova ci si poteva laureare in matematica anche con due tesine al posto della vera e propria tesi) il mio relatore e l'altro docente (che era anche il mio relatore della seconda tesina) si sono messi a litigare sul grado del polinomio nullo, uno diceva che era $-oo$ e l'altro $0$ come ogni numero. Io non sapevo da che parte stare.
bè il mio professore considera di grado 0 il polinomio yguale ad una costante diversa da 0..forse dipende tutto quale scuola di pensiero sposi
Pare che negli anelli euclidei lo 0 non abbia grado. Per quel poco che ho visto, sembrerebbe ragionevole questa scelta per salvare ragionamenti del tipo "se a divide b, a ha grado minore od uguale a quello di b".
Tuttavia, per i polinomi, c'è anche che il grado del prodotto è la somma dei gradi, e questo avviene se poniamo $-oo$ come grado di zero, con la convenzione che quello sia un simbolo indifferente alla somma e minore di tutti naturali.
Insomma la scelta è se non mettere il grado o porlo uguale a $-oo$. Uguale a 0 mi suona strano.
Tuttavia, per i polinomi, c'è anche che il grado del prodotto è la somma dei gradi, e questo avviene se poniamo $-oo$ come grado di zero, con la convenzione che quello sia un simbolo indifferente alla somma e minore di tutti naturali.
Insomma la scelta è se non mettere il grado o porlo uguale a $-oo$. Uguale a 0 mi suona strano.
La mia prof. di Geometria ci ha detto che il polinomio nullo non ha grado.
e a noi hanno detto che ha grado $-oo$ per convenzione..
"pic":
Un polinomio a coefficienti in un anello è una successione in quell'anello con quasi tutti i termini uguali a 0. In particolare, la successione identicamente nulla è un polinomio (che corrisponde al tuo 0).
E' una successione in quell'anello con i termini definitivamente nulli.
In particolare 0 è un polinomio.
Non metterei grado 0 al polinomio nullo, altrimenti viene meno l'eleganza sui risultati sulle valutazioni nei domini euclidei..e l'anello dei polinomi in un campo è dominio euclideo con valutazione il grado.
D'accordo con te sulle ultime due righe, delle prime non capisco il senso. Perché mi hai quotato per poi ripetere una definizione equivalente alla mia?
Non c'era alcun intento polemico..era giusto per chiarezza.
Ad esempio la successione che è costantemente nulla tranne che sui primi, dove vale 1: ha quasi tutti i termini nulli, ma non è un polinomio. A questo punto bisognerebbe definire per bene la parola "quasi tutti"..ma non val la pena, visto che c'è la parola "definitivamente".
Ad esempio la successione che è costantemente nulla tranne che sui primi, dove vale 1: ha quasi tutti i termini nulli, ma non è un polinomio. A questo punto bisognerebbe definire per bene la parola "quasi tutti"..ma non val la pena, visto che c'è la parola "definitivamente".
http://en.wikipedia.org/wiki/Almost_all
"quasi tutti" voleva dire, nel mio caso, tutti tranne un numero finito.
P.S.: Se il problema era la definizione sarebbe stato più corretto che tu mi chiedessi cosa intendevo con quell'espressione, anziché interpretarla tu.
"quasi tutti" voleva dire, nel mio caso, tutti tranne un numero finito.
P.S.: Se il problema era la definizione sarebbe stato più corretto che tu mi chiedessi cosa intendevo con quell'espressione, anziché interpretarla tu.
Touchè.
Se il polinomio nullo avesse grado zero allora la funzione $deg$ (grado) non verificherebbe più la proprietà $deg(fg)=deg(f)+deg(g)$, giusto? Quindi io direi che lo zero ha grado $-oo$ (e questa proprietà "moltiplicativa" è salvata).
Aggiungo solo che l'anello dei polinomi $A[X]$ è isomorfo come $A$-modulo alla somma diretta $A^{(NN)}$. Osservo solo che non si può dare ad $A^{(NN)}$ la struttura di anello definendo il prodotto per componenti, perché gli manca l'elemento unità in questo senso. Se invece si definisce il prodotto usuale dei polinomi (che si chiama alla Cauchy, se non sbaglio) allora quello diventa un anello con unità $(1,0,0,...)$.
Quanto ai polinomi in più variabili, trovo elegante la generalizzazione: un polinomio in $k$ variabili a coefficienti in $A$ è una funzione $NN^k to A$ non nulla solo per un numero finito di termini (ovvero è un elemento di $A^{(NN^k)}$).
Aggiungo solo che l'anello dei polinomi $A[X]$ è isomorfo come $A$-modulo alla somma diretta $A^{(NN)}$. Osservo solo che non si può dare ad $A^{(NN)}$ la struttura di anello definendo il prodotto per componenti, perché gli manca l'elemento unità in questo senso. Se invece si definisce il prodotto usuale dei polinomi (che si chiama alla Cauchy, se non sbaglio) allora quello diventa un anello con unità $(1,0,0,...)$.
Quanto ai polinomi in più variabili, trovo elegante la generalizzazione: un polinomio in $k$ variabili a coefficienti in $A$ è una funzione $NN^k to A$ non nulla solo per un numero finito di termini (ovvero è un elemento di $A^{(NN^k)}$).
Mi è venuta in mente una cosa che forse complica la faccenda: in $A[X]$ (dove $A$ è un anello non meglio identificato) il grado di un polinomio è ben definito, ma anche assegnando a $0$ grado $-oo$ non è detto che la proprietà (*) $deg(fg)=deg(f)+deg(g)$ sia verificata (per contro lo è se $A$ è un campo, per es. $A=RR$ o $CC$). Infatti può capitare che $A[X]$ non sia un dominio di integrità, per esempio se $A=ZZ//4ZZ$ allora $2x * 2x = 0$. Il grado poi può pure calare, per esempio $(2x^2+1) * 2x = 2x$. Credo che perché valga la proprietà (*) sia necessario e sufficiente chiedere che $A$ (o equivalentemente $A[X]$) sia un dominio di integrità (assegnando sempre a $0$ grado $-oo$).
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