Definizione di $NN$
Salve, non mi è ben chiara una cosa sulla definizione dei numeri naturali.
Innanzitutto, dati due insiemi non vuoti $A$ e $B$, si dice che essi sono equipotenti se sono in corrispondenza biunivoca.
Detto questo, si definisce poi cardinalità di un certo insieme non vuoto la classe che ha per elementi tutti gli insiemi equipotenti a quell'insieme.
Dunque, si può arrivare a definire il numero naturale nel seguente modo:
si prende $O/$ e si pone per definizione $card(O/):=0$;
poi si considera il successivo di $O/$, cioè ${O/}$ e si pone per definizione $card({O/}):=1$ e cosi via.
Fin qui è tutto apposto.
Quello che non capisco è perchè il libro, per definire l'insieme dei naturali, introduce il concetto di insieme induttivo e definisce $NN$ come "l'intersezione di tutti i sottoinsiemi induttivi di $A$".
Quello che mi chiedo io è: per definire $NN$ non basta definire l'insieme che ha per elementi tutti quei numeri che sono stati definiti sopra, cioè $1$, $2$, $3$ ecc...?
Grazie mille.
Innanzitutto, dati due insiemi non vuoti $A$ e $B$, si dice che essi sono equipotenti se sono in corrispondenza biunivoca.
Detto questo, si definisce poi cardinalità di un certo insieme non vuoto la classe che ha per elementi tutti gli insiemi equipotenti a quell'insieme.
Dunque, si può arrivare a definire il numero naturale nel seguente modo:
si prende $O/$ e si pone per definizione $card(O/):=0$;
poi si considera il successivo di $O/$, cioè ${O/}$ e si pone per definizione $card({O/}):=1$ e cosi via.
Fin qui è tutto apposto.
Quello che non capisco è perchè il libro, per definire l'insieme dei naturali, introduce il concetto di insieme induttivo e definisce $NN$ come "l'intersezione di tutti i sottoinsiemi induttivi di $A$".
Quello che mi chiedo io è: per definire $NN$ non basta definire l'insieme che ha per elementi tutti quei numeri che sono stati definiti sopra, cioè $1$, $2$, $3$ ecc...?
Grazie mille.
Risposte
Salve lisdap,
eccoti un link che può risolvere il tuo dubbio:
http://plato.stanford.edu/entries/set-t ... mer.html#4
Cordiali saluti
"lisdap":
Salve, non mi è ben chiara una cosa sulla definizione dei numeri naturali.
Innanzitutto, dati due insiemi non vuoti $A$ e $B$, si dice che essi sono equipotenti se sono in corrispondenza biunivoca.
Detto questo, si definisce poi cardinalità di un certo insieme non vuoto la classe che ha per elementi tutti gli insiemi equipotenti a quell'insieme.
Dunque, si può arrivare a definire il numero naturale nel seguente modo:
si prende $O/$ e si pone per definizione $card(O/):=0$;
poi si considera il successivo di $O/$, cioè ${O/}$ e si pone per definizione $card({O/}):=1$ e cosi via.
Fin qui è tutto apposto.
Quello che non capisco è perchè il libro, per definire l'insieme dei naturali, introduce il concetto di insieme induttivo e definisce $NN$ come "l'intersezione di tutti i sottoinsiemi induttivi di $A$".
Quello che mi chiedo io è: per definire $NN$ non basta definire l'insieme che ha per elementi tutti quei numeri che sono stati definiti sopra, cioè $1$, $2$, $3$ ecc...?
Grazie mille.
eccoti un link che può risolvere il tuo dubbio:
http://plato.stanford.edu/entries/set-t ... mer.html#4
Cordiali saluti
Io sono un fissato riguardo alla questione dei fondamenti, ergo dimostro che sono un fissato.
Tu dici che il tuo manuale definisce la cardinalità di un insieme non vuoto come la classe degli insiemi che sono ad esso equipotenti. Poi però dici che viene anche introdotta la cardinalità dell'insieme vuoto che, evidentemente, non è non vuoto.
Ora:
• suppongo che quando si fa riferimento alla classe degli insiemi ad esso equipotenti si faccia riferimento alla classe di equivalenza degli insiemi ad esso equipotenti;
• la relazione di equipotenza non è una vera relazione di equivalenza perché non esiste l'insieme di tutti gli insiemi, del quale ci sarebbe bisogno per trattarla come una vera relazione di equivalenza;
• il punto precedente porta quindi la necessità di introdurre il concetto di classe propria e questa necessità fa sì che, a meno di introdurre questo concetto, quanto detto nel primo punto non ha molto senso;
• esistono diversi modi di introdurre \(\mathbb{N}\) ma tutti devono poi rispettare gli Assiomi di Peano ed a seconda del modo che scegli cambia leggermente il modo di trattare la cardinalità: e.g. il tuo desto definisce i naturali come le cardinalità, mentre nel link di garnak.olegtovic puoi già vedere che i numeri naturali si collegano alle cardinalità degli insiemi finiti e la cardinalità di \(\mathbb{N}\) si collega a quella degli insiemi infiniti.
Tenendo conto di tutto questo, ti pare saggio studiare una cosa del genere dal Pagani-Salsa, cioè da un testo di Analisi 1?
Se ci tieni alla questione dei fondamenti, allora prima studiati un paio di testi di Algebra, per cominciare a familiarizzare con la tendenza all'estrema astrazione propria del campo algebrico, quindi passa ad una serie di testi sui fondamenti, iniziando dallo studio della logica formale per poi passare alla Teoria Assiomatica degli Insiemi, anche perché, a quanto ne so, l'approccio tipico dell'Analisi al problema della costruzione degli insiemi numerici consiste nell'aggredire la questione a partire dagli Assiomi di Peano: ovvero la differenza tra un approccio algebrico ed uno analitico al problema della costruzione dei numeri sta nel fatto che gli Analisti partono dagli Assiomi di Peano, gli Algebristi partono dagli Assiomi di Peano, oppure dalla Teoria Assiomatica degli Insiemi, oppure dagli insiemi Dedekind-infiniti, sempre nell'ambito della teoria degli insiemi.
Tu dici che il tuo manuale definisce la cardinalità di un insieme non vuoto come la classe degli insiemi che sono ad esso equipotenti. Poi però dici che viene anche introdotta la cardinalità dell'insieme vuoto che, evidentemente, non è non vuoto.
Ora:
• suppongo che quando si fa riferimento alla classe degli insiemi ad esso equipotenti si faccia riferimento alla classe di equivalenza degli insiemi ad esso equipotenti;
• la relazione di equipotenza non è una vera relazione di equivalenza perché non esiste l'insieme di tutti gli insiemi, del quale ci sarebbe bisogno per trattarla come una vera relazione di equivalenza;
• il punto precedente porta quindi la necessità di introdurre il concetto di classe propria e questa necessità fa sì che, a meno di introdurre questo concetto, quanto detto nel primo punto non ha molto senso;
• esistono diversi modi di introdurre \(\mathbb{N}\) ma tutti devono poi rispettare gli Assiomi di Peano ed a seconda del modo che scegli cambia leggermente il modo di trattare la cardinalità: e.g. il tuo desto definisce i naturali come le cardinalità, mentre nel link di garnak.olegtovic puoi già vedere che i numeri naturali si collegano alle cardinalità degli insiemi finiti e la cardinalità di \(\mathbb{N}\) si collega a quella degli insiemi infiniti.
Tenendo conto di tutto questo, ti pare saggio studiare una cosa del genere dal Pagani-Salsa, cioè da un testo di Analisi 1?
Se ci tieni alla questione dei fondamenti, allora prima studiati un paio di testi di Algebra, per cominciare a familiarizzare con la tendenza all'estrema astrazione propria del campo algebrico, quindi passa ad una serie di testi sui fondamenti, iniziando dallo studio della logica formale per poi passare alla Teoria Assiomatica degli Insiemi, anche perché, a quanto ne so, l'approccio tipico dell'Analisi al problema della costruzione degli insiemi numerici consiste nell'aggredire la questione a partire dagli Assiomi di Peano: ovvero la differenza tra un approccio algebrico ed uno analitico al problema della costruzione dei numeri sta nel fatto che gli Analisti partono dagli Assiomi di Peano, gli Algebristi partono dagli Assiomi di Peano, oppure dalla Teoria Assiomatica degli Insiemi, oppure dagli insiemi Dedekind-infiniti, sempre nell'ambito della teoria degli insiemi.
Salve Wizard,
condivido pienamente la tua osservazione, io, giacchè quella dei fondamenti è ancora un piano minato, preferisco presentare i numeri naturale come oggetti qualsiasi già dati, e non costruiti da altro, che soddisfano certi assiomi, avendo però la consapevolezza delle varie costruzioni in merito.
Cordiali saluti
condivido pienamente la tua osservazione, io, giacchè quella dei fondamenti è ancora un piano minato, preferisco presentare i numeri naturale come oggetti qualsiasi già dati, e non costruiti da altro, che soddisfano certi assiomi, avendo però la consapevolezza delle varie costruzioni in merito.
Cordiali saluti
A me piace costruirli con gli assiomi di ZF.
"WiZaRd":
Tenendo conto di tutto questo, ti pare saggio studiare una cosa del genere dal Pagani-Salsa, cioè da un testo di Analisi 1?
Wizard, hai ragione, però ora non ho tempo di mettermi a studiare anche un manuale serio di Algebra
. Lo farò quando avrò tempo. Pensavo che tale dubbio potesse essere risolto subito, mentre da quello che ho capito c'è dietro una teoria più complessa di quello che pensavo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo