Definizione di \( \leq \) e \( < \) tra elementi di \( \mathbb{Z} \) definito insiemisticamente
Salve a tutti,
mi aggancio a questa discussione supponendo che sappiamo cosa significa sommare due elementi di \( \mathbb{N} \), ed anche qui vorrei più una conferma che altro, ma accolgo con piacere la qualsiasi delle osservazioni, sia data la relazione binaria \( \mathfrak{f} \) in \( \mathbb{N}^2 \), ove \( (a,b)\mathfrak{f} (c,d) \iff a+d=c+b \), è facile dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza quindi si definisce \( \mathbb{Z}:=\mathbb{N}/\mathfrak{f} \); ora siano dati \( [(m,n)]_\mathfrak{f},[(p,q)]_\mathfrak{f} \in \mathbb{Z} \), è giusto dire che \( [(m,n)]_\mathfrak{f} \leq [(p,q)]_\mathfrak{f} \) se \( m+_\mathbb{N} q \leq_\mathbb{N} p+_\mathbb{N} n \), e che inoltre \( [(m,n)]_\mathfrak{f} < [(p,q)]_\mathfrak{f} \) se \( m+_\mathbb{N} q <_\mathbb{N} p+_\mathbb{N} n\)..???
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
mi aggancio a questa discussione supponendo che sappiamo cosa significa sommare due elementi di \( \mathbb{N} \), ed anche qui vorrei più una conferma che altro, ma accolgo con piacere la qualsiasi delle osservazioni, sia data la relazione binaria \( \mathfrak{f} \) in \( \mathbb{N}^2 \), ove \( (a,b)\mathfrak{f} (c,d) \iff a+d=c+b \), è facile dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza quindi si definisce \( \mathbb{Z}:=\mathbb{N}/\mathfrak{f} \); ora siano dati \( [(m,n)]_\mathfrak{f},[(p,q)]_\mathfrak{f} \in \mathbb{Z} \), è giusto dire che \( [(m,n)]_\mathfrak{f} \leq [(p,q)]_\mathfrak{f} \) se \( m+_\mathbb{N} q \leq_\mathbb{N} p+_\mathbb{N} n \), e che inoltre \( [(m,n)]_\mathfrak{f} < [(p,q)]_\mathfrak{f} \) se \( m+_\mathbb{N} q <_\mathbb{N} p+_\mathbb{N} n\)..???
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
Risposte
UP 
Ciao Garnak, io penso di sì, anche se non sono convinta che i ragionamenti che ho fatto non siano o tautologici (il primo) o circolari (il secondo).
Ragionamento 1.
Se per assurdo non fosse come dici tu, avremmo:
$ { ( m-n <= p-q),( m+q> p+n ):} $
(la prima disuguaglianza perché il numero [(m,n)] "rappresenta" m-n, e analogamente [(p,q)] rappresenta p-q; la seconda disuguaglianza per l'"ipotesi assurda").
Ma il sistema non ha soluzioni.
Ragionamento 2.
Usiamo questa definizione di ordinamento: a > b sse a = b + c per qualche c > 0.
Ora usiamo la definizione insiemistica: siano a = [(p, q)], b = [(m, n)], c = [(x, y)], con x > y (cavolo, mi sa che qui sto cadendo in un circolo vizioso! Per poter dire che c > 0 se x > y, forse devo aver dimostrato quello che sto dimostrando). Continuo comunque...
a > b, quindi (p, q) = (m, n) + (x, y) = (m + x, n + y)
Dalla definizione insiemistica, p + n + y = q + m + x
p + n = q + m + x - y
Essendo x > y, p + n > q + m
Ragionamento 1.
Se per assurdo non fosse come dici tu, avremmo:
$ { ( m-n <= p-q),( m+q> p+n ):} $
(la prima disuguaglianza perché il numero [(m,n)] "rappresenta" m-n, e analogamente [(p,q)] rappresenta p-q; la seconda disuguaglianza per l'"ipotesi assurda").
Ma il sistema non ha soluzioni.
Ragionamento 2.
Usiamo questa definizione di ordinamento: a > b sse a = b + c per qualche c > 0.
Ora usiamo la definizione insiemistica: siano a = [(p, q)], b = [(m, n)], c = [(x, y)], con x > y (cavolo, mi sa che qui sto cadendo in un circolo vizioso! Per poter dire che c > 0 se x > y, forse devo aver dimostrato quello che sto dimostrando). Continuo comunque...
a > b, quindi (p, q) = (m, n) + (x, y) = (m + x, n + y)
Dalla definizione insiemistica, p + n + y = q + m + x
p + n = q + m + x - y
Essendo x > y, p + n > q + m
@jitter,
ti ringrazio della risposta, ma non capisco i tuoi ragionamenti.. la mia questione è più da fondazione... la somma cmq è intesa tra elementi di \( \mathbb{N} \), ovvero tra insiemi per come ho definito l'insieme dei naturali!!
Saluti!!
ti ringrazio della risposta, ma non capisco i tuoi ragionamenti.. la mia questione è più da fondazione... la somma cmq è intesa tra elementi di \( \mathbb{N} \), ovvero tra insiemi per come ho definito l'insieme dei naturali!!
Saluti!!
Intuisco che il tuo pdv è più "advanded", però (abbi pazienza 
) ... ormai mi hai messo il tarlo e proverei a rispiegarmi...
1) Per quanto riguarda la definizione di naturale, ti riferisci a quella per cui un naturale è una classe di equivalenza contenente insiemi tra loro equipotenti? In questo caso, la somma di due naturali a + b sarebbe la classe di equivalenza contenente gli insiemi che hanno la cardinalità di A U B, dove A è un rappresentante di a e B è un rappresentante di b?
2)
La proprietà da dimostrare non si riferisce a elementi di Z? Quindi perché ti riferisci alla definizione di somma in N e non in Z?
In Z io conosco solo questa definizione del liceo: [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c), (d + b)] e avevo provato ad applicarla al secondo ragionamento: non va?
Rileggendo invece il primo ragionamento, credo di aver scritto una cosa ridondante. Si può forse dire, più semplicemente:
poiché in generale un numero intero [(a, b)] è "rappresentato" da a - b, usando questo fatto posso scrivere che [(m, n)] < [(p, q)] equivale a dire che m - n < p - q, da cui m + q < p + n ?
Mi sa, però, che non è "rigoroso" dire "un numero intero [(a, b)] è "rappresentato" da a - b": o tutto sommato ci può stare?
Beh, ora ti lascio in pace
) ... ormai mi hai messo il tarlo e proverei a rispiegarmi...1) Per quanto riguarda la definizione di naturale, ti riferisci a quella per cui un naturale è una classe di equivalenza contenente insiemi tra loro equipotenti? In questo caso, la somma di due naturali a + b sarebbe la classe di equivalenza contenente gli insiemi che hanno la cardinalità di A U B, dove A è un rappresentante di a e B è un rappresentante di b?
2)
"garnak.olegovitc":
la somma cmq è intesa tra elementi di N
La proprietà da dimostrare non si riferisce a elementi di Z? Quindi perché ti riferisci alla definizione di somma in N e non in Z?
In Z io conosco solo questa definizione del liceo: [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c), (d + b)] e avevo provato ad applicarla al secondo ragionamento: non va?
Rileggendo invece il primo ragionamento, credo di aver scritto una cosa ridondante. Si può forse dire, più semplicemente:
poiché in generale un numero intero [(a, b)] è "rappresentato" da a - b, usando questo fatto posso scrivere che [(m, n)] < [(p, q)] equivale a dire che m - n < p - q, da cui m + q < p + n ?
Mi sa, però, che non è "rigoroso" dire "un numero intero [(a, b)] è "rappresentato" da a - b": o tutto sommato ci può stare?
Beh, ora ti lascio in pace
@jitter,
La proprietà da dimostrare non si riferisce a elementi di Z? Quindi perché ti riferisci alla definizione di somma in N e non in Z?
In Z io conosco solo questa definizione del liceo: [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c), (d + b)] e avevo provato ad applicarla al secondo ragionamento: non va?
[/quote]
1), si..
2), perchè non mi riferisco alla somma in \( \mathbb{Z} \)? Semplice, perchè ancora non l'avevo definita, anche se la somma scritta da me
non è la somma tra due elementi in \( \mathbb{Z} \), non vorrei sbagliare ho ancora sonno.. dal post avevo esplicitato di conoscere "sommare elementi di \( \mathbb{N} \)"...
thanks ugualmente della risposta!!
non saprei.. o non capisco, pardon
...
Saluti!!
P.S.=Usa per favore il latex!!
"jitter":
Intuisco che il tuo pdv è più "advanded", però (abbi pazienza
1) Per quanto riguarda la definizione di naturale, ti riferisci a quella per cui un naturale è una classe di equivalenza contenente insiemi tra loro equipotenti? In questo caso, la somma di due naturali a + b sarebbe la classe di equivalenza contenente gli insiemi che hanno la cardinalità di A U B, dove A è un rappresentante di a e B è un rappresentante di b?
2) [quote="garnak.olegovitc"]la somma cmq è intesa tra elementi di N
La proprietà da dimostrare non si riferisce a elementi di Z? Quindi perché ti riferisci alla definizione di somma in N e non in Z?
In Z io conosco solo questa definizione del liceo: [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c), (d + b)] e avevo provato ad applicarla al secondo ragionamento: non va?
[/quote]
1), si..
2), perchè non mi riferisco alla somma in \( \mathbb{Z} \)? Semplice, perchè ancora non l'avevo definita, anche se la somma scritta da me
"garnak.olegovitc":
\( [(m,n)]_\mathfrak{f} \leq [(p,q)]_\mathfrak{f} \) se \( m+q \leq p+n \), e che inoltre \( [(m,n)]_\mathfrak{f} < [(p,q)]_\mathfrak{f} \) se \( m+q < p+n \)..???
non è la somma tra due elementi in \( \mathbb{Z} \), non vorrei sbagliare ho ancora sonno.. dal post avevo esplicitato di conoscere "sommare elementi di \( \mathbb{N} \)"...
thanks ugualmente della risposta!!
"jitter":
Rileggendo invece il primo ragionamento, credo di aver scritto una cosa ridondante. Si può forse dire, più semplicemente:
poiché in generale un numero intero [(a, b)] è "rappresentato" da a - b, usando questo fatto posso scrivere che [(m, n)] < [(p, q)] equivale a dire che m - n < p - q, da cui m + q < p + n ?
Mi sa, però, che non è "rigoroso" dire "un numero intero [(a, b)] è "rappresentato" da a - b": o tutto sommato ci può stare?
Beh, ora ti lascio in pace
non saprei.. o non capisco, pardon
...Saluti!!
P.S.=Usa per favore il latex!!
@jitter,
ti ringrazio per aver risposto... ma forse mi sono spiegato male sin dall'inizio, in effetti ho corretto il primo messaggio,.. a me sembra, e correggimi se sbaglio, che tu lavori conoscendo già la definizione di minore o minore uguale definiti definendo le operazioni in \( \mathbb{Z} \), ma se non avessi definito le operazioni in \( \mathbb{Z} \) come avresti definito il minore o minore uguale tra elementi di \( \mathbb{Z} \) ??.. cercavo risposta a questa domanda, e l'ho trovata ovvero con le operazioni e la relazione di minore o minore uguale tra elementi di \( \mathbb{N} \)...!! Thanks ugualmente!!
Saluti
ti ringrazio per aver risposto... ma forse mi sono spiegato male sin dall'inizio, in effetti ho corretto il primo messaggio,.. a me sembra, e correggimi se sbaglio, che tu lavori conoscendo già la definizione di minore o minore uguale definiti definendo le operazioni in \( \mathbb{Z} \), ma se non avessi definito le operazioni in \( \mathbb{Z} \) come avresti definito il minore o minore uguale tra elementi di \( \mathbb{Z} \) ??.. cercavo risposta a questa domanda, e l'ho trovata ovvero con le operazioni e la relazione di minore o minore uguale tra elementi di \( \mathbb{N} \)...!! Thanks ugualmente!!
Saluti
Grazie a te. Quando scrivo per me credo di essere chiara e invece quando espongo a qualcuno in questo forum mi rendo conto di essere spesso confusionaria. Quindi è stato a maggior ragione utile, per me, avere provato a rispondere!
Ciao
Ciao
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