Definizione di insieme denso

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
è corretta la seguente definizione:

siano dati \( \preceq \) una relazione di ordine in \( A \), ed \( B \subset A \), ove \( B \neq \emptyset \), dicesi che \( B \) è denso in \( A \) se \(\forall x,y \in A( x \prec y \to \exists b \in B( x \prec b \prec y)) \)

??

Ringrazio anticipatamente!

P.S.= \( x \prec y \) significa \( x \preceq y \wedge x \neq y \) preciso anche che \( B \subset A \) significa \( B \subseteq A \wedge A \neq B \)

[vict85]

Si, è corretto all'interno della teoria degli insiemi ordinati.

[garnak.olegovitc1]

@vict85,
thanks della risposta!!
pensando però hai teoremi sulla densità di $mathbb{Q}$ e di $\mathbb{I}$ in $\mathbb{R}$.. la relazione d'ordine in $\mathbb{R}$ era, ovviamente, totale... nella mia definizione ciò non è richiesto, in effetti è una relazione d'ordine parziale... non cambia nulla spero!???
Saluti

[j18eos]

Pensando topologicamente[nota][ot]Penso che debba disintossicarmi dalla topologia![/ot][/nota]: sia \(\displaystyle(S;\preceq)\) un insieme ordinato, definiti aperti gli insiemi \(\displaystyle)a;b(=\{c\in S\mid a\prec c\prec b\}\); si dimostra facilmente che così resta definita un topologia \(\displaystyle\mathcal{T}\) su \(\displaystyle S\), detta topologia indotta dall'ordine \(\displaystyle\preceq\) di \(\displaystyle S\).

Volendo definire un insieme denso \(\displaystyle D\) in \(\displaystyle(S;\mathcal{T})\) ottieni la definizione che hai esposto di sopra.

[garnak.olegovitc1]

@j18eos e altri ancora,
grazie della risposta ma premetto che purtroppo non ho fatto nulla di topologia e forse non la studierò mai se non da autodidatta; cmq sia mi sto forse impelagando inutilmente, leggevo:

http://planetmath.org/densetotalorder

http://planetmath.org/denseinaposet

le definizioni di (sotto)insiemi densi sono "leggermente" differenti... se ciò che leggo è giusto allora dovrei nel mio primo post dire che la relazione deve essere d'ordine totale... mmmm , aspetto una qualche conferma!!

Saluti!!

[vict85]

Mi sembra strano che tu non abbia mia fatto topologia: è uno degli elementi principali di una triennale in matematica, e pensavo facessi matematica. Che corso di studi fai?

Comunque penso sinceramente che la topologia sia molto più importante dei concetti che stai approfondendo in questo periodo.

[j18eos]

Secondo wikipedia.en: la seconda definizione che richiami è quella di sottoinsieme denso nel senso del forcing.

[garnak.olegovitc1]

ciao j18eos,

"j18eos":Secondo wikipedia.en: la seconda definizione che richiami è quella di sottoinsieme denso nel senso del forcing.

quindi quella che do nel primo post, poichè non è specificato che la relazione di ordine deve essere totale è errata?

Saluti!

[j18eos]

Ma no...

Se condiseri un insieme ordinato qualsiasi, la definizione di sottoinsieme denso è quella che hai data tu;
se ti metti in un insieme parzialmente ordinato, puoi utilizzare la definizione di sottoinsieme denso nel senso del forcing.

La scelta di una delle due definizioni dipende dai riultati che vuoi usare o dimostrare...

[garnak.olegovitc1]

ciao j18eos,

"j18eos":Ma no...
Se condiseri un insieme ordinato qualsiasi, la definizione di sottoinsieme denso è quella che hai data tu;
se ti metti in un insieme parzialmente ordinato, puoi utilizzare la definizione di sottoinsieme denso nel senso del forcing.
La scelta di una delle due definizioni dipende dai riultati che vuoi usare o dimostrare...

grazie mille...

[j18eos]

Di nulla garnak.olegovitc!