Definizione di funzione
ciao a tutti! ho appena iniziato a studiare le funzioni ma trovo già dei problemi e spero di chiarirli con voi.
Ho compreso che la definizione dice che una funzione è una legge di corrispondenza che rispetta: per ogni x appartenente a un insieme A esiste un unico y che appartiene a B tale che f(x)=y (ossia f: x->y)
Io però non capisco a conti fatti come mostro che:
1) y=2x sia una funzione, ok adocchio è chiaro. Ma formalmente non capisco come dire che per ogni x corrisponda una e una sola y e che rispetti f: x->y
2) stavo pensando a un caso del genere metttiamo di avere due variabili (a,b) che diano un rapporto costante a/b=cost. E scrivo y=a/b. COncludrei che y non dipende da a e non dipende da b, infatti variando a varia b e il rapporto è costante. Insomma: y non è funzione di a e di b giusto?
Però se scrivo y*b=a posso dire che a è funzione di y? E come lo mostro?
SPero di poter capire questi due punti che mi bloccano. Grazie ancora e scusate la domanda, ma stiamo studiando ora le funzioni.
Ho compreso che la definizione dice che una funzione è una legge di corrispondenza che rispetta: per ogni x appartenente a un insieme A esiste un unico y che appartiene a B tale che f(x)=y (ossia f: x->y)
Io però non capisco a conti fatti come mostro che:
1) y=2x sia una funzione, ok adocchio è chiaro. Ma formalmente non capisco come dire che per ogni x corrisponda una e una sola y e che rispetti f: x->y
2) stavo pensando a un caso del genere metttiamo di avere due variabili (a,b) che diano un rapporto costante a/b=cost. E scrivo y=a/b. COncludrei che y non dipende da a e non dipende da b, infatti variando a varia b e il rapporto è costante. Insomma: y non è funzione di a e di b giusto?
Però se scrivo y*b=a posso dire che a è funzione di y? E come lo mostro?
SPero di poter capire questi due punti che mi bloccano. Grazie ancora e scusate la domanda, ma stiamo studiando ora le funzioni.
Risposte
Da \( y = 2x \) segue \( \displaystyle x = \frac{y}{2} \). Se esistessero \( y_{1} \) e \( y_{2} \) tali che \( y_{1} \ne y_{2} \) ed in relazione con \( x \) allora si avrebbe \( \displaystyle \frac{y_{1}}{2} = \frac{y_{2}}{2} \), da cui l'assurdo \( y_{1} = y_{2} \).
Per il punto 2), $y$ è funzione della coppia ordinata $(a,b)$ perchè, dati $a$ e $b$ (ovvero data la coppia ordinata $(a,b)$), $y=a/b$ è unico (se esiste). Il fatto che lo stesso $y$ sia immagine di diversi elementi del dominio (ossia di diverse coppie ordinate) significa solo che la funzione non è iniettiva, ma funzione rimane.
Vorrei anzitutto ringraziarvi per avermi dato ascolto e aiuto. Risponderò ad entrambi con qualche dubbio ancora 
1)
Ok, il senso è che ragionando per assurdo trovo negata l'ipotesi (d'assurdo) che $y_1!=y_2$ dunque essendo uguali questo dimostra che per ogni x esiste una unica y tale che y=2x in pratica e quindi sono di fronte a una funzione. Giusto?
2) @luca69
sulla seconda domanda credo di avere più dubbi. Stoltamente pensavo che essendo y=cost=a/b allora y non dipendesse da a e b. Però in effetti dopo la tua risposta mi accorgo che ho detto una cavolata: un esempio se prendo $a$ e $b=2a$ allora $y=1/2$ edin effetti sarebbe una funzione costante. Insomma seho due varibili che rapportate danno una costante e la mia funzione è proprio y=(rapporto delle due variabili che è costante), l'unica cosa che posso concludere solo che ho comunque una funzione ed è in particolare una funzione costante. Posso quindi dire y non dipende da a e b perché ogni volta che varia a varia b di conseguenza rimanendo costante nel rapporto?
Scusate davvero, so di essere stupido ma seguo analisi 1 al primo anno e vorrei capire meglio che posso anche le basi. Devo allenarmi molto, lo so!
Grazie a voi!
1)
"G.D.":
Da \( y = 2x \) segue \( \displaystyle x = \frac{y}{2} \). Se esistessero \( y_{1} \) e \( y_{2} \) tali che \( y_{1} \ne y_{2} \) ed in relazione con \( x \) allora si avrebbe \( \displaystyle \frac{y_{1}}{2} = \frac{y_{2}}{2} \), da cui l'assurdo \( y_{1} = y_{2} \).
Ok, il senso è che ragionando per assurdo trovo negata l'ipotesi (d'assurdo) che $y_1!=y_2$ dunque essendo uguali questo dimostra che per ogni x esiste una unica y tale che y=2x in pratica e quindi sono di fronte a una funzione. Giusto?
2) @luca69
sulla seconda domanda credo di avere più dubbi. Stoltamente pensavo che essendo y=cost=a/b allora y non dipendesse da a e b. Però in effetti dopo la tua risposta mi accorgo che ho detto una cavolata: un esempio se prendo $a$ e $b=2a$ allora $y=1/2$ edin effetti sarebbe una funzione costante. Insomma seho due varibili che rapportate danno una costante e la mia funzione è proprio y=(rapporto delle due variabili che è costante), l'unica cosa che posso concludere solo che ho comunque una funzione ed è in particolare una funzione costante. Posso quindi dire y non dipende da a e b perché ogni volta che varia a varia b di conseguenza rimanendo costante nel rapporto?
Scusate davvero, so di essere stupido ma seguo analisi 1 al primo anno e vorrei capire meglio che posso anche le basi
. Devo allenarmi molto, lo so!Grazie a voi!
Sì mat.pasc, per il punto 2) puoi dire così, se così le cose ti sono più chiare. Siamo in presenza di una funzione costante. Il fatto che $y$ assume sempre lo stesso valore al variare di $x$ non significa che non sia una funzione.
Ti consiglio, studiando la definizione di funzione, di attenerti strettamente alle definizioni che ti sono date, dimentica, quando definisci cos'è una funzione, quel '$y$ dipende da $x$. Si usa dire così, si parla di variabile dipendente e indipendente, ma questo non fa parte della definizione di funzione.
Ti consiglio, studiando la definizione di funzione, di attenerti strettamente alle definizioni che ti sono date, dimentica, quando definisci cos'è una funzione, quel '$y$ dipende da $x$. Si usa dire così, si parla di variabile dipendente e indipendente, ma questo non fa parte della definizione di funzione.
Spero venga approvato tra non troppo il mio messaggio ma ti vorrei ringraziare tanto @gabriella per la tua risposa. In effetti devo solo attenermi alla definizione come dici tu, ed è vero che per ogni x che io scelga la y è unica infatti ho y=c e data la costanza di c discende l'unicita sempre e comunque della mia y correlata come da definizione.
Non ci avevo mai riflettuto molto a suo tempo alle superiori. Mi vergogno un po' ma effettivamente non lo sapevo davvero questo concetto così base
Non ci avevo mai riflettuto molto a suo tempo alle superiori. Mi vergogno un po' ma effettivamente non lo sapevo davvero questo concetto così base
Data la "legge" \( y = 2x \) tu vuoi provare che per ogni \( x \) esiste una ed una sola \( y \) in relazione con \( x \). Allora supponi per assurdo che non sia così, supponi per assurdo che esistano \( y_{1} \) e \( y_{2} \) diverse tra loro ( \( y_{1} \ne y_{2} \) ) ed in relazione con \( x \). Supponendo ciò si arriva però alla conclusione che \( y_{1} = y_{2} \), che costituisce un assurdo essendo in contraddizione con l'ipotesi per assurdo fatta inizialmente, cioè \( y_{1} \ne y_{2} \), sicché l'ipotesi per assurdo, che è la negazione della tesi, va rigettata e va accettata per l'appunto la tesi. Fai attenzione al fatto che in questa dimostrazione di giunge paradossalmente alla tesi che è utile non perché è la tesi ma perché nega l'ipotesi per assurdo.
@mat.pasc, è bene tenere presenti le definizioni ($X$ a $Y$ sono insiemi; occhio ai quantificatori):
a) $f: X\to Y$ è una funzione se $\forall x\in X, \exists!y\in Y| y=f(x)$
b) $f: X\to Y$ è una funzione suriettiva se $\forall y\in Y, \exists x\in X | y=f(x)$
c) $f: X\to Y$ è una funzione iniettiva se $\forall y\in f(X), \exists! x\in X | y=f(x)$
d) $f: X\to Y$ è una funzione biiettiva (suriettiva e iniettiva) se $\forall y\in Y, \exists! x\in X | y=f(x)$
Se confonti d) con a), vedi che una funzione biiettiva induce un'altra funzione $g:Y\to X$ tale che $x=g(y)=g(f(x))=(gf)(x)$, ovvero tale che $gf=\iota_X$. La funzione $g$ è detta inversa (destra) di $f$.
In generale, quindi, dire se "$y=a/b$" è o non è una funzione, e di che tipo, dipende dall'insieme $X$ in cui la coppia ordinata $(a,b)$ può variare (dominio) e dall'insieme $Y$ che consideri come codominio. Ad esempio, essa non è una funzione da $\RR\times\RR$ (qualsiasi sia il codominio), perchè $a/b$ non è definito nei punti $(a,0)$. D'altra parte, essa non è una funzione neppure da $\RR\times\RR\setminus {0}$ in $[0,1]$, perchè $f(2,1)=2/1=2\notin [0,1]$.
a) $f: X\to Y$ è una funzione se $\forall x\in X, \exists!y\in Y| y=f(x)$
b) $f: X\to Y$ è una funzione suriettiva se $\forall y\in Y, \exists x\in X | y=f(x)$
c) $f: X\to Y$ è una funzione iniettiva se $\forall y\in f(X), \exists! x\in X | y=f(x)$
d) $f: X\to Y$ è una funzione biiettiva (suriettiva e iniettiva) se $\forall y\in Y, \exists! x\in X | y=f(x)$
Se confonti d) con a), vedi che una funzione biiettiva induce un'altra funzione $g:Y\to X$ tale che $x=g(y)=g(f(x))=(gf)(x)$, ovvero tale che $gf=\iota_X$. La funzione $g$ è detta inversa (destra) di $f$.
In generale, quindi, dire se "$y=a/b$" è o non è una funzione, e di che tipo, dipende dall'insieme $X$ in cui la coppia ordinata $(a,b)$ può variare (dominio) e dall'insieme $Y$ che consideri come codominio. Ad esempio, essa non è una funzione da $\RR\times\RR$ (qualsiasi sia il codominio), perchè $a/b$ non è definito nei punti $(a,0)$. D'altra parte, essa non è una funzione neppure da $\RR\times\RR\setminus {0}$ in $[0,1]$, perchè $f(2,1)=2/1=2\notin [0,1]$.
Purtroppo non sono stati pubblicati i messaggi precedenti. Ma vorrei di nuovo potervi ringraziare tutti .Mi pare chiaro ora
"mat.pasc":
Spero venga approvato tra non troppo il mio messaggio ma ti vorrei ringraziare tanto @gabriella per la tua risposa. In effetti devo solo attenermi alla definizione come dici tu, ed è vero che per ogni x che io scelga la y è unica infatti ho y=c e data la costanza di c discende l'unicita sempre e comunque della mia y correlata come da definizione.
Non ci avevo mai riflettuto molto a suo tempo alle superiori. Mi vergogno un po' ma effettivamente non lo sapevo davvero questo concetto così base
Ciao mat.pasc., figurati. Non avevo letto questo tuo messaggio, perché evidentemente non era stato ancora approvato.
Ma non ti devi preoccupare ne' tantomeno vergognare! E' normale, perché la matematica che si fa all'università è diversa, soprattutto come metodo, da quella del liceo.
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