Definizione di cardinalità minore o uguale tra due insiemi.
Buongiorno,
Sto leggendo la seguente definizione:
Siano $S, T$ insiemi, dove con $|cdot|$ indico $[cdot]_(~)$ classe di equivalenza modulo equipotenza;
Nella presente definizione compaiono classi di equivalenza, quindi, mi potrei chiedere se tale definizione è ben posta, cioè non è in funzione dei rappresentati.
Procedo cosi, considero le seguenti relazioni
Il dubbio è: posso considerare la $f$ ? mi verrebbe da dire si.... ma allo stesso tempo sto verificando se la definizione è ben posta, quindi non potrei valutarla.
Chiedo a voi qualche delucidazione.
Ciao
Sto leggendo la seguente definizione:
Siano $S, T$ insiemi, dove con $|cdot|$ indico $[cdot]_(~)$ classe di equivalenza modulo equipotenza;
$|S| le |T| leftrightarrow^("def")\ exists\ f : S \to\ T \|\ "f iniettiva".$
Nella presente definizione compaiono classi di equivalenza, quindi, mi potrei chiedere se tale definizione è ben posta, cioè non è in funzione dei rappresentati.
Procedo cosi, considero le seguenti relazioni
$|S|=|S_1|\,\ |T|=|T_1|$
esistono due funzioni $z,h$ biettieve definite rispettivamente da $S$ in $S_1,$ $T$ in $T_1$, in particolare $z$ essendo biettiva è invertibile, adesso per completare dovrei considerare anche la $f$ per concludere con la determinazione di $y=h circ f circ z^(-1)=S_1 \ to \ T_1$ dove $y$ essendo composta di funzioni iniettive è iniettiva.Il dubbio è: posso considerare la $f$ ? mi verrebbe da dire si.... ma allo stesso tempo sto verificando se la definizione è ben posta, quindi non potrei valutarla.
Chiedo a voi qualche delucidazione.
Ciao
Risposte
Scusa, ma dove sono le classi di equipotenza?
Inoltre, non stai affatto definendo la cardinalità.
Inoltre, non stai affatto definendo la cardinalità.
Forse il titolo del topic non è idoneo con quanto scritto, comunque l'ho corretto.
La definizione che ho riportato è esattamente quella che c'è sulle dispense della mia prof. ossia questa:
Definizione:
$ |S| le |T| leftrightarrow^("def.")\ exists\ f : S \to\ T \|\ "f iniettiva". $
Invece, per le classi di equipotenza intendo questo $|S| :=_(~)$ dove $~$ è una relazione d'equivalenza nella classe di tutti gli insiemi.
La definizione che ho riportato è esattamente quella che c'è sulle dispense della mia prof. ossia questa:
Definizione:
$ |S| le |T| leftrightarrow^("def.")\ exists\ f : S \to\ T \|\ "f iniettiva". $
Invece, per le classi di equipotenza intendo questo $|S| :=
Prendi un libro, fa più al caso tuo di dispense di varia natura.
Se vuoi andare sul classico, il Curzio, Longobardi & Maj è un buon riferimento.
Se vuoi andare sul classico, il Curzio, Longobardi & Maj è un buon riferimento.
"gugo82":
Prendi un libro, fa più al caso tuo di dispense di varia natura.
Se vuoi andare sul classico, il Curzio, Longobardi & Maj è un buon riferimento.
Lo conosco, tra l'altro è la mia prof.
Le biiezioni sono iniettive; quindi se \([A]\le \) e sostituisco \(A\) con un \(A'\) che ha la stessa cardinalità, è ancora vero che \([A']\le \); di fatto, quello che stai dicendo è che passi all'ordine parziale associato al preordine dato da \(\le\).
Ciao solaàl, forse mi sono espresso male.
Voglio dire, la funzione $f : S to T$ che compare nella composta $y$, può essere presa in considerazione?
La mia titubanza deriva dal fatto che sto valutando se la definizione è ben posta. Non lo so se mi sono spiegato, spero di si
Voglio dire, la funzione $f : S to T$ che compare nella composta $y$, può essere presa in considerazione?
La mia titubanza deriva dal fatto che sto valutando se la definizione è ben posta. Non lo so se mi sono spiegato, spero di si
Tu hai definito una relazione tra due classi d'equivalenza in termini del valore di verità di un predicato che coinvolge dei loro rappresentanti. Per dimostrare che questa definizione è ben posta devi dimostrare che tale valore di verità non dipende dalla scelta dei rappresentanti, e lo hai fatto. Quindi per me il tuo procedimento ha senso ed è corretto.
Ciao Overflow94, il mio dubbio è se posso prendere o meno in considerazione la $f$ che compare nella composta $y$, poiché sto valutando la definizione se è ben posta.
Semplicemente voglio dire: posso valutare qualcosa che non so se è a priori è vera oppure falsa.
Ciao
Semplicemente voglio dire: posso valutare qualcosa che non so se è a priori è vera oppure falsa.
Ciao
Vedila in questo modo.
Definiamo la funzione $ t(S,T)={ ( 1 \ \ se \ \ EEf:S\rightarrow T | f \ \ i niet\tiva ),( 0 \ \ al trimenti ):} $ .
Seguendo il tuo procedimento si può dimostrare che se $S_1, S_2 in |S|$ e $T_1, T_2 in |T|$ allora $t(S_1, T_1)=t(S_2, T_2)$, cioè il valore della funzione $t$ è invariante alla scelta dei rappresentanti. Quindi possiamo definire $\bar{t}(|S|, |T|)=t(S, T)$.
Il problema di partenza diventa:
$|S|<=|T|$ se e solo se $\bar{t}(|S|, |T|)=1$
Definiamo la funzione $ t(S,T)={ ( 1 \ \ se \ \ EEf:S\rightarrow T | f \ \ i niet\tiva ),( 0 \ \ al trimenti ):} $ .
Seguendo il tuo procedimento si può dimostrare che se $S_1, S_2 in |S|$ e $T_1, T_2 in |T|$ allora $t(S_1, T_1)=t(S_2, T_2)$, cioè il valore della funzione $t$ è invariante alla scelta dei rappresentanti. Quindi possiamo definire $\bar{t}(|S|, |T|)=t(S, T)$.
Il problema di partenza diventa:
$|S|<=|T|$ se e solo se $\bar{t}(|S|, |T|)=1$
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