Definizione di campo di spezzamento

[piso88]

Ciao a tutti.
Credo di aver già trovato la risposta in un altra discussione ma vorrei avere una conferma, visto che la domanda è abbastanza semplice: in tutti i libri che ho trovato sulla Teoria di Galois, il campo di spezzamento di un polinomio $f(x) \in F$ è definito come un campo $K$ tale che
1) $K$ spezza $f$,
2) $K$ é generato su $F$ dalle radici di $f(x)$.


La mia domanda é: la prima condizione non é ridondante?

Grazie

[maurer]

In un certo senso sì ed in un certo senso no. Dipende dal contesto in cui ti metti: se hai [tex]F[/tex] da solo, allora no, non è ridondante, mentre se con [tex]F[/tex] hai fissato anche una delle tante isomorfe chiusure algebriche di [tex]F[/tex], è ridondante.

Il punto è che in [tex]F[/tex] non ci sono le radici di [tex]f[/tex], quindi devi scegliere il modo in cui aggiungerle. Una volta che ti è dato un campo su cui [tex]f[/tex] spezza, il campo di spezzamento è univocamente determinato. Naturalmente, tutti i campi di spezzamento sono isomorfi tra di loro, in ogni caso! E' una questione sottile ed è legato al concetto di malvagio in matematica.