Definizione di addizione e moltiplicazione concetto di successivo
Definiamo l’addizione attraverso gli assiomi di Peano , cioè attraverso il concetto di successivo.
Poniamo
0 + b = b;
s(a) + b = s(a + b).
Quindi per esempio
$2+3=2+s(2)=s(2+3)$
Come faccio invece per eseguire
$4*3=3+3+3+3$ quindi sempre applicando l’addizione e utilizzando il concetto di successivo.
Poniamo
0 + b = b;
s(a) + b = s(a + b).
Quindi per esempio
$2+3=2+s(2)=s(2+3)$
Come faccio invece per eseguire
$4*3=3+3+3+3$ quindi sempre applicando l’addizione e utilizzando il concetto di successivo.
Risposte
Avendo già definito la somma:
\[
\begin{cases}
m \cdot 0 = 0 \\
m \cdot s(n) = m \cdot n + m
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
m \cdot 0 = 0 \\
m \cdot s(n) = m \cdot n + m
\end{cases}
\]
Quindi nel mio caso
$4*3=4*s(2+1)=4*2+4$
$4*3=4*s(2+1)=4*2+4$
Esatto (cioè, l'idea, attento che \( 3 = s(2)\) e non \(s(2+1) \)). Applicando una seconda volta la definizione ottieni \(4+4+4\).
@marcus112,
ti basta vedere \(\Bbb{N}\) come una \( \mathbf{PA}\) (CLIC e CLIC)
Saluti
"marcus112":
Definiamo l’addizione attraverso gli assiomi di Peano , cioè attraverso il concetto di successivo.
Poniamo
0 + b = b;
s(a) + b = s(a + b).
Quindi per esempio
$2+3=2+s(2)=s(2+3)$
Come faccio invece per eseguire
$4*3=3+3+3+3$ quindi sempre applicando l’addizione e utilizzando il concetto di successivo.
ti basta vedere \(\Bbb{N}\) come una \( \mathbf{PA}\) (CLIC e CLIC)
Saluti
"garnak.olegovitc":
ti basta vedere \(\Bbb{N}\) come una \( \mathbf{PA}\) (CLIC e CLIC)
Saluti
Beh, storicamente è successo il contrario, gli assiomi di Peano sono stati "sistemati" all'interno della logica dei predicati del primo ordine in un secondo momento, la loro formulazione originaria trova oggi la formalizzazione "più naturale" nella logica del secondo ordine. In oltre, ma vado a memoria, mi sembra che $\mathbf{PA}$ abbia qualche limitazione rispetto all'aritmetica costruita con gli assiomi "originali", ma potrei sbagliarmi. In ogni caso se non c'è un buon motivo per farlo, non penso sia il caso di andarsi ad impelagare in $\mathbf{PA}$ solo per definire la moltiplicazione in $\mathbb{N}$, ma questo è solo il mio punto di vista, ed il mio rapporto con la logica è controverso.
@Epimenide93,
[/nota]... se ti riferisci alla logica usata per l'assioma d'induzione bhè, per evitare rogne del tipo "potrebbero esistere modelli di $\mathbf{PA}$ non isomorfi ad \(\Bbb{N}\)" (Zanardo se non erro li chiama "non standard", ma potrei ricordare male dato il fatto che è passato moolto tempo da quando mi interessava solo e soltanto un modo alternativo di definire \(\Bbb{N}\)) nella definizione si postula l'induzione completa formulata al secondo ordine per insiemi 
(che è anche quello che fa Zanardo, solo che lui inserisce ulteriormente altre formulazioni usando di già i semianelli ed altro ancora (Paragrafo 7.5, il paragrafo dopo spiega quanto ho detto anche se in modo meno superficiale di come a me interessava... ti risparmio comunque la lettura di paragrafi precedenti andando al sodo della questione 
)) 
, per quel poco che ho fatto, e alle volte per puro caso riesco a fare, l'ho trovata interessante (ammetto però che ai miei occhi è una droga dalla quale risulta difficile separarsi) (e di poca rilevanza in quanto non studio matematica)[/ot]
Saluti
"Epimenide93":bhè, io nei miei studi mi sono trovato benissimo a presentare \(\Bbb{N}\) come una qualsiasi $\mathbf{PA}$ e non ho trovato alcuna limitazione[nota]bhè qualcuna l'ho trovata, il docente non sapeva cosa fosse, come non sapeva cosa fosse l'Aritmetica di Robinson
In oltre, ma vado a memoria, mi sembra che $\mathbf{PA}$ abbia qualche limitazione rispetto all'aritmetica costruita con gli assiomi "originali", ma potrei sbagliarmi.
[/nota]... se ti riferisci alla logica usata per l'assioma d'induzione bhè, per evitare rogne del tipo "potrebbero esistere modelli di $\mathbf{PA}$ non isomorfi ad \(\Bbb{N}\)" (Zanardo se non erro li chiama "non standard", ma potrei ricordare male dato il fatto che è passato moolto tempo da quando mi interessava solo e soltanto un modo alternativo di definire \(\Bbb{N}\)) nella definizione si postula l'induzione completa formulata al secondo ordine per insiemi (che è anche quello che fa Zanardo, solo che lui inserisce ulteriormente altre formulazioni usando di già i semianelli ed altro ancora (Paragrafo 7.5, il paragrafo dopo spiega quanto ho detto anche se in modo meno superficiale di come a me interessava... ti risparmio comunque la lettura di paragrafi precedenti andando al sodo della questione )) "Epimenide93":ammetto che definire \(\Bbb{N}\) in questo modo per me era solo un pretesto per algebrizzare un po le cose (d'altronde bisogna avere idea di cosa è una operazione binaria, operazione unaria, cosa è un semianello (commutativo), omomorfismo tra semianelli .. & compagnia bella etc etc ..)[ot]
[ In ogni caso se non c'è un buon motivo per farlo, non penso sia il caso di andarsi ad impelagare in $ \mathbf{PA} $ solo per definire la moltiplicazione in $ \mathbb{N} $
"Epimenide93":peccato
ed il mio rapporto con la logica è controverso.
, per quel poco che ho fatto, e alle volte per puro caso riesco a fare, l'ho trovata interessante (ammetto però che ai miei occhi è una droga dalla quale risulta difficile separarsi)"Epimenide93":anche il mio è solo un punto di vista...
ma questo è solo il mio punto di vista
(e di poca rilevanza in quanto non studio matematica)[/ot]Saluti
[ot]@garnak Continuiamo la conversazione via MP [/ot]
[/ot]
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