Definizione della norma nei domini euclidei

[GBX1]

Quanto scritto qui di seguito si basa sulla teoria spiegata sul testo della prof.ssa Piacentini Cattaneo, Algebra - Un approccio algoritmico - Decibel Zanichelli, Padova, 2017.
Consideriamo dunque un dominio euclideo del tipo $ZZ[sqrt(d)]$, dove d è un intero (positivo o negativo) non quadrato (in modo che $sqrt(d)$ non sia intero). Allora un elemento di $ZZ[sqrt(d)]$ si scrive come
$a + bsqrt(d)$, e la sua norma è definita come (cfr. cit. pag. 197): $N(a + bsqrt(d)) = a^2 - db^2$.
In questo modo, per d positivo e opportuni a e b, la norma risulta negativa, il che non sembra tanto appropriato.
Allora, non sarebbe meglio definire, come norma di $a + bsqrt(d)$, il valore assoluto $|a^2 - db^2|$?
Grazie per l'attenzione.

[hydro1]

No, perchè questo è un caso particolare di una definizione molto più generale in cui non ha proprio senso prendere i moduli, visto che in generale il codominio non è reale.

[Stickelberger]

Mi pare che abbiamo a che fare con due norme distinte:

La norma "algebrica" di un elemento $x$: il determinante della moltiplicazione per $x$, diciamo.
Come dice hydro, si tratta di un concetto molto generale. Esiste anche in caratteristica $p$ per esempio.

E la norma nel senso della teoria dei domini Euclidei $R$: una mappa da $R-\{0\}$ verso
i numeri naturali che ha certe proprieta' che hanno a che fare con la divisione con resto in $R$.

Forse e' meglio di non usare la parola norma nel contesto Euclideo. Ma GBX1 ha ragione.
Se la Piacentini Cattaneo lo fa, dovrebbe prendere il valore assoluto della norma algebrica.