Definire un insieme.
Incontrando il '' Paradosso di Russell '' ci si scontra con quanto segue: non tutti gli enunciati definiscono un insieme. Essi vanno introdotti in un insieme prestabilito.
Tuttavia un certo insieme è di per sé definito ( esempio: insieme numeri reali e altro ). Come si può sapere se la definizione di un insieme ( in base alle proprietà che lo individuano ) non porta a contraddizioni?
Ho letto velocemente qualcosa sulla '' Teoria assiomatica degli insiemi '':
http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_assiomatica_degli_insiemi
Però non basta. Rimane il dubbio.
Tuttavia un certo insieme è di per sé definito ( esempio: insieme numeri reali e altro ). Come si può sapere se la definizione di un insieme ( in base alle proprietà che lo individuano ) non porta a contraddizioni?
Ho letto velocemente qualcosa sulla '' Teoria assiomatica degli insiemi '':
http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_assiomatica_degli_insiemi
Però non basta. Rimane il dubbio.
Risposte
"_GaS_":
Ho letto velocemente qualcosa sulla '' Teoria assiomatica degli insiemi '':
http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_assiomatica_degli_insiemi
Però non basta. Rimane il dubbio.
Devi leggere più lentamente qualcosa in più
Scherzi a parte, è una questione in realtà semplice, che per diverse ragioni risulta spinosa a spiegarsi (a volte può essere controintuitivo, il linguaggio naturale è ambiguo, certi filosofi nel tempo hanno cosparso il tracciato di olio...). Ti conviene studiare da un buon libro, io ho trovato illuminanti sia Halmos - Naive Set Theory (che come lo stesso autore spiega è più un approccio intuitivo alla teoria assiomatica degli insiemi, che una trattazione sulla teoria ingenua degli insiemi) che la parte sulla teoria degli insiemi di Mendelson - Introduction to Mathematical Logic (questo essendo un po' più tosticello, ti consiglio di leggerlo solo dopo aver letto il primo; inoltre non sviluppa ZFC ma NBG il che è tutt'altro che un male, permettendoti di vedere la cosa da più punti di vista, non molto distanti tra loro).
Già il primo dovrebbe schiarirti molto le idee (è un libro davvero illuminante: limpido e diretto), il secondo te lo consiglio se vuoi comprendere meglio la questione da un punto di vista più tecnico.
Ringrazio per i consigli.
Adesso, per fare un po' di chiarezza, mi basta risolvere quanto segue: una proposizione può definire un insieme, a patto che un insieme sia già assegnato. Non mi è troppo chiaro.
Che la proposizione non basti l'ho capito: paradosso di Russell.
Vorrei intendere l'insieme già assegnato: già di per sé è definito. Però dal momento che è definito in partenza e le definizioni si danno con proposizioni, alla fin fine l'insieme non è comunque definito da proposizioni?
Forse, per quello che mi basta sapere ora, bisogna definire un insieme in base ai suoi elementi con le loro proprietà, e non in base a relazioni tra insiemi ( come l'insieme degli insiemi che non contengono se stessi ); in quest'ultimo modo, infatti, non sarebbero ben definiti gli insiemi sui quali si opera. Devo renderlo ancora più chiaro.
Adesso, per fare un po' di chiarezza, mi basta risolvere quanto segue: una proposizione può definire un insieme, a patto che un insieme sia già assegnato. Non mi è troppo chiaro.
Che la proposizione non basti l'ho capito: paradosso di Russell.
Vorrei intendere l'insieme già assegnato: già di per sé è definito. Però dal momento che è definito in partenza e le definizioni si danno con proposizioni, alla fin fine l'insieme non è comunque definito da proposizioni?
Forse, per quello che mi basta sapere ora, bisogna definire un insieme in base ai suoi elementi con le loro proprietà, e non in base a relazioni tra insiemi ( come l'insieme degli insiemi che non contengono se stessi ); in quest'ultimo modo, infatti, non sarebbero ben definiti gli insiemi sui quali si opera. Devo renderlo ancora più chiaro.
L'unico problema che potrebbe porsi è l'esistenza di un insieme, ma hai (in particolare) due insiemi che esistono in virtù di due assiomi: l'insieme vuoto e l'insieme induttivo (oltre ad insiemi induttivi finiti garantiti dall'assioma dell'insieme delle parti), da questi tutto il resto arriva per costruzione utilizzando gli altri assiomi della teoria (e poggiandosi quando serve sulla logica predicativa). Come ciò accada non è sempre semplice da spiegare, ma il fatto che bene o male tu possa costruire quel che ti serve giocando con l'insieme vuoto e le sue potenze senza disturbare proposizioni particolari dovrebbe toglierti almeno un po' la sensazione del regresso infinito (qualche insieme "corposo" esiste, e bene o male mi garantisce un ambiente tranquillo all'interno del quale usare l'assioma di specificazione). Chiaramente sto semplificando dal momento che la cosa non finisce qui e non so quanto riuscirei a portare il discorso avanti dal momento che i miei ricordi in materia iniziano ad ossidarsi, ma è un buon punto di partenza per togliersi il prurito metafisico 
Grazie, per ora può bastare. Come mi hai consigliato prima conviene prendermi un buon libro sull'argomento e meditare.
Penso che un esempio di '' gioco con insieme vuoto e relative potenze '' sia quello della costruzione di $NN$, che trovato qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_naturale
Per intenderci.
Magari con quel linguaggio è possibile esprimere ciò che ho scritto alla fine dell' ultimo del post.
P.S.: ritengo che alla base di una struttura l'argomento non può che essere metafisico.
Penso che un esempio di '' gioco con insieme vuoto e relative potenze '' sia quello della costruzione di $NN$, che trovato qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_naturale
Per intenderci.
Magari con quel linguaggio è possibile esprimere ciò che ho scritto alla fine dell' ultimo del post.
P.S.: ritengo che alla base di una struttura l'argomento non può che essere metafisico.
@_Gas_,
mm ricordo che il mio docente tempo aveva dimostrato che l'insieme di Russell non è un insieme perchè non verifica la proprietà
saluti
"_GaS_":
Incontrando il '' Paradosso di Russell '' ci si scontra con quanto segue: non tutti gli enunciati definiscono un insieme. Essi vanno introdotti in un insieme prestabilito.
Tuttavia un certo insieme è di per sé definito ( esempio: insieme numeri reali e altro ). Come si può sapere se la definizione di un insieme ( in base alle proprietà che lo individuano ) non porta a contraddizioni?
Ho letto velocemente qualcosa sulla '' Teoria assiomatica degli insiemi '':
http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_assiomatica_degli_insiemi
Però non basta. Rimane il dubbio.
mm ricordo che il mio docente tempo aveva dimostrato che l'insieme di Russell non è un insieme perchè non verifica la proprietà
dato un insieme \( A \) allora \( card(A) < card(\mathscr{P}(A) )\)
saluti
@garnak.olegovitc
Cardinalità, insiemi infiniti e cose relative un po' le conosco; sto ristudiando analisi matematica su un altro libro. Però discute del paradosso prima di introdurre gli argomenti citati.
In questo caso risulta che l'insieme non può essere definito in quel modo perché consegue: $TinT<=>TnotinT$.
Questo basta, per il momento.
Cardinalità, insiemi infiniti e cose relative un po' le conosco; sto ristudiando analisi matematica su un altro libro. Però discute del paradosso prima di introdurre gli argomenti citati.
In questo caso risulta che l'insieme non può essere definito in quel modo perché consegue: $TinT<=>TnotinT$.
Questo basta, per il momento.
@_GaS_,
fai come credi più opportuno
.. ti potrei consigliare, oltre al "Naive set theory" di Halmos, anche "Axiomatic Set Theory" di Patrick Suppes
Saluti
P.S.=Per semplice curiosità, che libro usi di analisi?
"_GaS_":
@garnak.olegovitc
Cardinalità, insiemi infiniti e cose relative un po' le conosco; sto ristudiando analisi matematica su un altro libro. Però discute del paradosso prima di introdurre gli argomenti citati.
In questo caso risulta che l'insieme non può essere definito in quel modo perché consegue: $TinT<=>TnotinT$.
Questo basta, per il momento.
fai come credi più opportuno
.. ti potrei consigliare, oltre al "Naive set theory" di Halmos, anche "Axiomatic Set Theory" di Patrick Suppes Saluti
P.S.=Per semplice curiosità, che libro usi di analisi?
@garnak.olegovitc
Grazie per il consiglio, ma mi trovo a doverlo conservare per il futuro, come spiegato in un post che prima ho scritto.
Grazie per il consiglio, ma mi trovo a doverlo conservare per il futuro, come spiegato in un post che prima ho scritto.
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