Definire ricorsivamente la funzione
Ragazzi l'esercizio mi chiede di provare per ricorsione la seguente formula e poi applicare il principio di induzione matematica.
$F(n) = 4n-2$ per n > 1
Ho calcolato :
F(1) =2
F(2) =6
F(3) =10
quindi qui ogni elemento aumenta sempre di 4
POI IN MODO GENERALE HO DEFINITO COME CALCOLARE F(N)
$F(n) = f(n) - 1 + 4$
QUALCUNO QUI SUL FORUM in un altro post mi diceva che questo era solo per calcolare l'elemento.. bisogno anche ricavare la legge..
Non capisco però come si calcola
$F(n) = 4n-2$ per n > 1
Ho calcolato :
F(1) =2
F(2) =6
F(3) =10
quindi qui ogni elemento aumenta sempre di 4
POI IN MODO GENERALE HO DEFINITO COME CALCOLARE F(N)
$F(n) = f(n) - 1 + 4$
QUALCUNO QUI SUL FORUM in un altro post mi diceva che questo era solo per calcolare l'elemento.. bisogno anche ricavare la legge..
Non capisco però come si calcola
Risposte
Beh... cosa devi fare con esattezza dipende da quello che c'è scritto nel testo dell'esercizio.
In generale tirare fuori una definizione ricorsiva significa tirare fuori una definizione per il caso base (di solito per \( n = 0 \) o per \( n = 1 \)) e poi una definizione per il caso n-esimo che dipenda dal caso precedente.
In generale tirare fuori una definizione ricorsiva significa tirare fuori una definizione per il caso base (di solito per \( n = 0 \) o per \( n = 1 \)) e poi una definizione per il caso n-esimo che dipenda dal caso precedente.
Di solito gli esercizi che escono nel compito sono sempre definire ricorsivamente e provare per induzione ..
Magari se metti il testo originale capiamo anche noi cosa devi fare ... 
ragazzi scusate se sono stato poco chiaro.. l'esercizio mi chiede di definire ricorsivamente la funzione...
"axpgn":
Magari se metti il testo originale capiamo anche noi cosa devi fare ...
ho riscritto l'esercizio in pratica non riesco a ricavarmi la legge sia in questo ma anche in altri
Era meglio se lo postavi in questo post, lassù è meno visibile ed è pure scomodo,
[ot]IMHO meglio modificare i post il meno possibile soprattutto se vecchi[/ot]
... poi non si capisce se parti da $1$ o da $2$
infine presumo che la formula ricorsiva sia $F(n)=F(n-1)+4$.
Peraltro è ... giusto quello che hai fatto ...
Ti manca però una cosa importante: la dimostrazione per induzione; per quanto il buon senso ti dica che la formula è quella, va dimostrata ...
Cordialmente, Alex
[ot]IMHO meglio modificare i post il meno possibile soprattutto se vecchi[/ot]
... poi non si capisce se parti da $1$ o da $2$
infine presumo che la formula ricorsiva sia $F(n)=F(n-1)+4$.
Peraltro è ... giusto quello che hai fatto ...
Ti manca però una cosa importante: la dimostrazione per induzione; per quanto il buon senso ti dica che la formula è quella, va dimostrata ...
Cordialmente, Alex
Alex si la formula è quella per definire ricorsivamente volevo sapere se la ricorsione dovevo applicarla alla formula ovvero
$F(n)=F(n−1)+4$
che diventa $f(n+1) =f(n) +4$ qui ovviamente funziona
oppure procendere per induzione $ F(n) = 4n-2 $ qui? ovvero dalla formula che mi da l'esercizio..
$F(n)=F(n−1)+4$
che diventa $f(n+1) =f(n) +4$ qui ovviamente funziona
oppure procendere per induzione $ F(n) = 4n-2 $ qui? ovvero dalla formula che mi da l'esercizio..
Scusami, ma quella data dall'esercizio è l'ipotesi quindi la prendi per buona, quella che devi dimostrare è quella che hai trovato tu (in questo caso per induzione dato che te lo chiede espressamente ...)
Capito quindi vado a mettere al posto di n+1 al posto di n per dimostrare come calcolare l'elemento successivo a quello trovato..
Meglio se posti qui il procedimento ... quando l'avrai fatto, con calma ... 
Un tipico esempio di definizione ricorsiva che tutti incontrano in un qualunque corso di Matematica in un qualunque CDL (o che dovrebbero incontrare) è la definizione del fattoriale: dato \( n \in \mathbb{N} \), si dice fattoriale di \( n \) e si indica con \( n! \) il numero definito come segue
\[
n! =
\begin{cases}
1 & \text{se $n = 0$} \\
n \cdot (n - 1)! & \text{n > 0}
\end{cases}
\]
Anche la somma ed il prodotto dei numeri naturali si definiscono ricorsivamente quando si introduce \( \mathbb{N} \) come si deve. Nell'esempio che ho proposto, \( n! \) ha il ruolo della funzione definita ricorsivamente che tu devi trovare nei tuoi esercizi e le condizioni \( 1 \text{ se $n = 0$} \) e \( n \cdot (n - 1)! \text{ se $n > 0$} \) sono i casi della ricorsione con le rispettive assegnazioni: i casi sono i "se", le assegnazioni sono \( 1 \) e \( n \cdot (n - 1)! \).
Quello che devi fare nell'esercizio che hai proposto è trovare una nuova applicazione, da chiamare in modo diverso da come è stata chiamata l'applicazione fornita nella consegna dell'esercizio, fornire una definizione come quella del fattoriale, sia nella forma che nella "sostanza": ovvero formalmente devono essere presenti delle assegnazioni che vanno per casi e tali assegnazioni devono fare in modo che il lettore sia in grado di trovare il valore dell'applicazione per il generico \( n \) "usando" il valore della stessa applicazione "calcolato" in \( n - 1 \).
Ergo:
1. se l'applicazione che ti è stata assegnata già si chiama \( F \) non ha senso chiamare \( F \) anche l'applicazione definita ricorsivamente, magari potresti chiamarla \( G \);
2. devi tirare fuori qualcosa del tipo
\[
G(n) =
\begin{cases}
m & \text{se $n = 2$} \\
G(m - 1) & \text{se $n >2$}
\end{cases}
\]
3. nello specifico di questo esercizio, come ho sottolineato al punto 2, iniziare la ricorsione da \( n = 2 \) dato che nella consegna è esplicitato \( n > 1 \);
4. dimostrare usando il principio di induzione che \( \forall n > 2, F(n) = G(n) \).
\[
n! =
\begin{cases}
1 & \text{se $n = 0$} \\
n \cdot (n - 1)! & \text{n > 0}
\end{cases}
\]
Anche la somma ed il prodotto dei numeri naturali si definiscono ricorsivamente quando si introduce \( \mathbb{N} \) come si deve. Nell'esempio che ho proposto, \( n! \) ha il ruolo della funzione definita ricorsivamente che tu devi trovare nei tuoi esercizi e le condizioni \( 1 \text{ se $n = 0$} \) e \( n \cdot (n - 1)! \text{ se $n > 0$} \) sono i casi della ricorsione con le rispettive assegnazioni: i casi sono i "se", le assegnazioni sono \( 1 \) e \( n \cdot (n - 1)! \).
Quello che devi fare nell'esercizio che hai proposto è trovare una nuova applicazione, da chiamare in modo diverso da come è stata chiamata l'applicazione fornita nella consegna dell'esercizio, fornire una definizione come quella del fattoriale, sia nella forma che nella "sostanza": ovvero formalmente devono essere presenti delle assegnazioni che vanno per casi e tali assegnazioni devono fare in modo che il lettore sia in grado di trovare il valore dell'applicazione per il generico \( n \) "usando" il valore della stessa applicazione "calcolato" in \( n - 1 \).
Ergo:
1. se l'applicazione che ti è stata assegnata già si chiama \( F \) non ha senso chiamare \( F \) anche l'applicazione definita ricorsivamente, magari potresti chiamarla \( G \);
2. devi tirare fuori qualcosa del tipo
\[
G(n) =
\begin{cases}
m & \text{se $n = 2$} \\
G(m - 1) & \text{se $n >2$}
\end{cases}
\]
3. nello specifico di questo esercizio, come ho sottolineato al punto 2, iniziare la ricorsione da \( n = 2 \) dato che nella consegna è esplicitato \( n > 1 \);
4. dimostrare usando il principio di induzione che \( \forall n > 2, F(n) = G(n) \).
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