Definire e dimostrare una relazione

[IlBodoz]

qualcuno mi aiuta a capire la relazione che intercorre tra continuità e derivabilità di una funzione, facendomi anche vedere e capire la dimostrazione di questa relazione?

[vict85]

Ora non ho voglia di mettermi a scriverti dimostrazioni.

Quindi mi limiterò ad alcune osservazioni

In $RR$ derivabilità implica continuità. Per la dimostrazione dipende anche che definizioni usi. Intuitivamente se esiste il limite del rapporto incrementale la funzione non può essere discontinua in un intorno del punto. Il contrario non è invece vero. L'esempio classico è y = |x|

dimostrazione

$lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0))$ se la funzione è continua questo limite deve andare a 0.

$lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0))/(x - x_0)(x - x_0) = lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0))/(x - x_0) * lim_{x \to x_0} (x - x_0) = f'(x_0)*0 = 0$
Fa 0 perché se la funzione è derivabile allora $f'(x_0)$ ha un valore finito.

In $RR^n$ invece la derivabilità non implica la continuità. Mentre una funzione differenziabile è continua. Ma se non hai fatto analisi in $RR^n$ questa divagazione è inutile. La differenza tra $RR^n$ e $RR$ sta nel fatto che in $RR$ una funzione derivabile è anche differenziabile.

[IlBodoz]

grazie mille del tuo aiuto.
c'è qualcun'altro che potrebbe aiutarmi a dare dimostrazione della relazione?