$Def.$ più formale di relazione rifles-sim-antisimm-tran
Salve a tutti,
in un testo da me letto trovai scritto, solamente, la seg. definzione formale di relazione riflessiva:
$Def.$: Dati gli insiemi $A$,$B$,$C$ e $R$, ove $C=AxxB$ e $A=B$ ed $R$ è una relazione binaria di $A$ in $B$, $R$ è riflessiva $harr$ $AAx,AAy: x inA ^^yinB^^x=y->(x;y)inR$
Mi domandavo se è possibile impostare allo stesso modo la def. di relazione binaria transitiva di $A$ in $B$, ove $A=B$, allo stesso modo. Purtroppo è da un bel pò di tempo che sto a provare ma non riesco, mi potreste cortesemente aiutare.
Cordiali saluti
in un testo da me letto trovai scritto, solamente, la seg. definzione formale di relazione riflessiva:
$Def.$: Dati gli insiemi $A$,$B$,$C$ e $R$, ove $C=AxxB$ e $A=B$ ed $R$ è una relazione binaria di $A$ in $B$, $R$ è riflessiva $harr$ $AAx,AAy: x inA ^^yinB^^x=y->(x;y)inR$
Mi domandavo se è possibile impostare allo stesso modo la def. di relazione binaria transitiva di $A$ in $B$, ove $A=B$, allo stesso modo. Purtroppo è da un bel pò di tempo che sto a provare ma non riesco, mi potreste cortesemente aiutare.
Cordiali saluti
Risposte
Salve a tutti,
ho provato a ragionare un pò, seguendo anche il libro "Logica Di Marcello D'Agostino, Marco Mondadori", ed sono pervenuto a queste conclusioni o definizioni:
$Def.$: Dati gli insiemi $A$,$B$,$C$ e $R$, ove $C=AxxB$, $R$ è una relazione binaria di $A$ in $B$, $harr$ $RsubeC$.
$Def.$: Dati gli insiemi $A$,$B$,$C$ e $R$, ove $C=AxxB$ e $A=B$ ed $R$ è una relazione binaria di $A$ in $B$, $R$ è riflessiva $harr$ $AAx,AAy: x=y -> (x;y)inR$
$Def.$: Dati gli insiemi $A$,$B$,$C$ e $R$, ove $C=AxxB$ e $A=B$ ed $R$ è una relazione binaria di $A$ in $B$, $R$ è simmetrica $harr$ $AAx,AAy: (x;y)inR ->(y;x)inR$
$Def.$: Dati gli insiemi $A$,$B$,$C$ e $R$, ove $C=AxxB$ e $A=B$ ed $R$ è una relazione binaria di $A$ in $B$, $R$ è antisimmetrica $harr$ $AAx,AAy: (x;y)inR ^^(y;x)inR ->x=y$
$Def.$: Dati gli insiemi $A$,$B$,$C$ e $R$, ove $C=AxxB$ e $A=B$ ed $R$ è una relazione binaria di $A$ in $B$, $R$ è transitiva $harr$ $AAx,AAy,AAz: (x;y)inR ^^(y;z)inR->(x;z)inR$
Però avrei delle perplessità per quanto riguarda la def. di $R$ riflessiva, incosciamente penso che sia giusto scrivere che $R$ è riflessiva $harr$ $AAx,AAy: x=y ^^ (x;y)inR$ (anche perchè così definendo si include la possibilità della negazione dell'implicazione materiale).
Però penso che occorre esplicitare l'appartenenza di $x,y,$ e $z$. (Cosa semplice se si deve definire la relazione riflessiva, infatti:
$Def.$: Dati gli insiemi $A$,$B$,$C$ e $R$, ove $C=AxxB$ e $A=B$ ed $R$ è una relazione binaria di $A$ in $B$, $R$ è riflessiva $harr$ $AAx,AAy: x=y ^^ x in A ^^ y in B -> (x;y)inR$ (così definita mi sembra che logicamente è giusto).
Ma non riesco a fare la medesima cosa per le def. di relazione simmetrica, antisimmetrica e transitiva. Come Posso fare?
Cosa ne pensate in merito?
Cordiali saluti
[xdom="gugo82"]Penso che hai sbagliato sezione.
Sposto in Algebra, pregandoti di fare più attenzione in futuro.[/xdom]
ho provato a ragionare un pò, seguendo anche il libro "Logica Di Marcello D'Agostino, Marco Mondadori", ed sono pervenuto a queste conclusioni o definizioni:
$Def.$: Dati gli insiemi $A$,$B$,$C$ e $R$, ove $C=AxxB$, $R$ è una relazione binaria di $A$ in $B$, $harr$ $RsubeC$.
$Def.$: Dati gli insiemi $A$,$B$,$C$ e $R$, ove $C=AxxB$ e $A=B$ ed $R$ è una relazione binaria di $A$ in $B$, $R$ è riflessiva $harr$ $AAx,AAy: x=y -> (x;y)inR$
$Def.$: Dati gli insiemi $A$,$B$,$C$ e $R$, ove $C=AxxB$ e $A=B$ ed $R$ è una relazione binaria di $A$ in $B$, $R$ è simmetrica $harr$ $AAx,AAy: (x;y)inR ->(y;x)inR$
$Def.$: Dati gli insiemi $A$,$B$,$C$ e $R$, ove $C=AxxB$ e $A=B$ ed $R$ è una relazione binaria di $A$ in $B$, $R$ è antisimmetrica $harr$ $AAx,AAy: (x;y)inR ^^(y;x)inR ->x=y$
$Def.$: Dati gli insiemi $A$,$B$,$C$ e $R$, ove $C=AxxB$ e $A=B$ ed $R$ è una relazione binaria di $A$ in $B$, $R$ è transitiva $harr$ $AAx,AAy,AAz: (x;y)inR ^^(y;z)inR->(x;z)inR$
Però avrei delle perplessità per quanto riguarda la def. di $R$ riflessiva, incosciamente penso che sia giusto scrivere che $R$ è riflessiva $harr$ $AAx,AAy: x=y ^^ (x;y)inR$ (anche perchè così definendo si include la possibilità della negazione dell'implicazione materiale).
Però penso che occorre esplicitare l'appartenenza di $x,y,$ e $z$. (Cosa semplice se si deve definire la relazione riflessiva, infatti:
$Def.$: Dati gli insiemi $A$,$B$,$C$ e $R$, ove $C=AxxB$ e $A=B$ ed $R$ è una relazione binaria di $A$ in $B$, $R$ è riflessiva $harr$ $AAx,AAy: x=y ^^ x in A ^^ y in B -> (x;y)inR$ (così definita mi sembra che logicamente è giusto).
Ma non riesco a fare la medesima cosa per le def. di relazione simmetrica, antisimmetrica e transitiva. Come Posso fare?
Cosa ne pensate in merito?
Cordiali saluti
[xdom="gugo82"]Penso che hai sbagliato sezione.
Sposto in Algebra, pregandoti di fare più attenzione in futuro.[/xdom]
Pedantic,
ecco cosa ne penso.
Se tu sei interessato solo al caso A=B, è una inutile perdita di tempo per te e un inutile e fastidioso sforzo per il lettotre usare B e C dicendo che B=A e C=AxB.
Togliti queste incrostazioni di pseudo formalismo, non servono a nulla.
°°°°°
Detto questo, non capisco dove tu possa trovare problemi.
E' ovvio che x,y,z devono appartenere ad A. Ci vuole tanto a scriverlo, come per la proprietà "riflessiva"?
Esempio:
$Def.$: Dati $A$ ed $R$, relazione binaria su $A$, $R$ è transitiva se
$AAx,AAy,AAz: x \in A, y \in A, z \in A, (x,y)inR, (y,z)inR->(x,z)inR$
NB: puoi sostituire $^^$ alle virgole, se ti sembrasse più sfiziosetto (il sugo è lo stesso)
NB: NON userei il simbolo $harr$ di equivalenza logica, visto che stiamo dando una definizione e non dimostrando un teorema.
NB: perché usi ";" per le coppie ordinate? Lo standard universale è ",", salvo ragioni specialissime di forza maggiore
NBNBNB: Annotazione maligna finale. Ho provato ad accontentarti, ma tieni presente che $(x,y) \in R$ IMPLICA che $x \in A$ e $y \in A$. Quindi il tutto era solo una gigantesca, enorme pedanteria inutile
Suggerimento (già dato implicitamente): non farti suggestionare da finti e inutili formalismi. E' fondamentale padroneggiare il formalismo, non bisogna esserne succubi.
ecco cosa ne penso.
Se tu sei interessato solo al caso A=B, è una inutile perdita di tempo per te e un inutile e fastidioso sforzo per il lettotre usare B e C dicendo che B=A e C=AxB.
Togliti queste incrostazioni di pseudo formalismo, non servono a nulla.
°°°°°
Detto questo, non capisco dove tu possa trovare problemi.
E' ovvio che x,y,z devono appartenere ad A. Ci vuole tanto a scriverlo, come per la proprietà "riflessiva"?
Esempio:
$Def.$: Dati $A$ ed $R$, relazione binaria su $A$, $R$ è transitiva se
$AAx,AAy,AAz: x \in A, y \in A, z \in A, (x,y)inR, (y,z)inR->(x,z)inR$
NB: puoi sostituire $^^$ alle virgole, se ti sembrasse più sfiziosetto (il sugo è lo stesso)
NB: NON userei il simbolo $harr$ di equivalenza logica, visto che stiamo dando una definizione e non dimostrando un teorema.
NB: perché usi ";" per le coppie ordinate? Lo standard universale è ",", salvo ragioni specialissime di forza maggiore
NBNBNB: Annotazione maligna finale. Ho provato ad accontentarti, ma tieni presente che $(x,y) \in R$ IMPLICA che $x \in A$ e $y \in A$. Quindi il tutto era solo una gigantesca, enorme pedanteria inutile
Suggerimento (già dato implicitamente): non farti suggestionare da finti e inutili formalismi. E' fondamentale padroneggiare il formalismo, non bisogna esserne succubi.
Salve Fioravante Patrone,
secondo le sue osservazioni quindi dovrei scrivere nel seguente modo:
$AAx,y: x in A ^^ y in A^^ x=y -> (x,y)inR$ (rflessiva)
$AAx,y: x in A ^^ y in A ^^ (x,y) in R -> (y,x) in R$ (simmetrica)
$AAx,y: x in A ^^ y in A ^^ (x,y) in R ^^ (y,x) in R -> x=y$ (antisimmetrica)
$AAx,y,z: x in A ^^ y in A ^^ z in A ^^ (x,y) in R ^^ (y,z) in R -> (x,z) in R$ (transitiva)
Giusto?
Cordiali saluti
secondo le sue osservazioni quindi dovrei scrivere nel seguente modo:
$AAx,y: x in A ^^ y in A^^ x=y -> (x,y)inR$ (rflessiva)
$AAx,y: x in A ^^ y in A ^^ (x,y) in R -> (y,x) in R$ (simmetrica)
$AAx,y: x in A ^^ y in A ^^ (x,y) in R ^^ (y,x) in R -> x=y$ (antisimmetrica)
$AAx,y,z: x in A ^^ y in A ^^ z in A ^^ (x,y) in R ^^ (y,z) in R -> (x,z) in R$ (transitiva)
Giusto?
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
dovrei scrivere nel seguente modo:
...
$AAx,y: x in A ^^ y in A ^^ (x,y) in R -> (y,x) in R$ (simmetrica)
...
"dovrei" è una parola impegnativa
io direi: se scrivi così, sei tranquillo dal punto di vista dello "working mathematician". Nessuno ti farà obiezioni
Volendo, puoi ancora "semplificare" (ma io preferisco un po' di ridondanza, questione di gusti, ovvero preferisco la tua proposizione. Ma, appunto volendo si può scrivere:
$AAx,y: (x,y) in R -> (y,x) in R$ (simmetrica)
Visto che R è contenuto in AxA e quindi se $(x,y) in R$ allora $x in A$ e $y in A$ (ovviamente sarà stato detto prima, da qualche parte, che R è un sottoinsieme di AxA).
Salve Fioravante Patrone,
la ringrazio enormemente e volevo segnalarle, sperando in un ulteriore aiuto da parte sua, un 'altra mia curiosità a riguardo della scrittura matematica : semplice-curiosita-matematica-t82575.html
Cordiali saluti
la ringrazio enormemente e volevo segnalarle, sperando in un ulteriore aiuto da parte sua, un 'altra mia curiosità a riguardo della scrittura matematica : semplice-curiosita-matematica-t82575.html
Cordiali saluti
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