Def non naive di polinomio, equazione, e sistema di eq lineari
studiando i polinomi non mi piace affatto la def. intuitiva di polinomio che si da, pertanto mi chiedevo se esiste un modo meno naive di definire un polinomio. Ugualmente mi chiedevo la stessa cosa per la def. di equazione e di sistema di eq lineari..
Risposte
sai cosa é il supporto di una funzione? Se si, potresti scrivere la definizione?
no, ho provato a vedere su wiki ma non capisco..
prendiamo una magma associativo unitario \(G:=(M,+)\) ed una funzione \(T: A\to M\), si chiama supporta di \(T\) l insieme $$\text{Supp}(T):=\{X \in A| T(X)\neq 0_+\}$$ Questo insiemi puó essere finito o infinito, prendi familiaritá con questa definizione e amplia quanto detto a ció.. cosí si definisce il polinomio, ovvero \(P\) é polinomio su \(R\) ad \(n\) indeterminate se $$P\in R[\omega^n]:=\{X:\omega^n \to A| \text{Supp}(X) \text{ é finito}\}$$ con \( R:=(A,+_A,\cdot_A)\) anello unitario commutativo[nota]esistono costruzioni di \(R[G]\) piú restrittive e con meno condizioni ma penso che non sia il tuo caso (evitando oltretutto una confusione mentale qualora non sei abituato a simili cose, vedere tutto come una funzione é interessante ma alle volte pesante..)[/nota]. Per la definizione di eq penso saprai da solo ricavarla, mentre per la definzione di eq lin necessiti della def. di grado ed un ulteriore costruzione per un sistema di eq lineari, saprai dirmi quale?[nota]prova a pensare intuitivamente cosa ti occorre[/nota]
Ci sono tante definizioni possibili per "polinomio"... La più formale è la seguente:
Continuo a braccio, lasciandoti il compito di andarti a spulciare queste cose su un buon testo di Algebra.
Definendo la somma di successioni ed il prodotto per lo scalare come si deve (cioè componente per componente), si vede che $\mathbb{A}[x]$ si può dotare di una somma con le usuali proprietà (associativa, commutativa, elemento neutro, opposto) ed un prodotto esterno "sufficientemente buono" se il prodotto di $\mathbb{A}$ è "buono"; così, se $\mathbb{A}$ è un campo, $\mathbb{A}[x]$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb{A}$.
D'altra parte, definendo il prodotto di successioni à la Cauchy, i.e. come segue:
\[
(a_n)*(b_n) := \left( \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}\right)
\]
puoi mettere su $\mathbb{A}[x]$ un prodotto:
\[
\mathbf{p}\cdot \mathbf{q} = \left( \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} \right)
\]
che è "sufficientemente buono" se tale è il prodotto di $\mathbb{A}$ (e.g., se $\mathbb{A}$ è commutativo, il prodotto è commutativo; se $\mathbb{A}$ è unitario, il prodotto tra polinomi ha l'elemento neutro, i.e. il polinomio \(\mathbf{1}=(1,0,0,\ldots ,0,\ldots )\)); in tal modo $\mathbb{A}[x]$ diviene un'algebra.
Inoltre, se $\mathbb{A}$ è un dominio di integrtà (e.g., un anello commutativo unitario privo di divisori dello zero), allora vale la regola di addizione dei gradi, cioè la relazione:
\[
\operatorname{grad} (\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}) = \operatorname{grad} (\mathbf{p}) + \operatorname{grad} (\mathbf{q})\; .
\]
Per riportare tutto nella forma che conosci già, basta osservare che i polinomi:
\[
x^k := (\delta_n^k)
\]
in cui:
\[
\delta_n^k := \begin{cases} 1 &\text{, se } n=k\\ 0 &\text{, se } n\neq k\end{cases}
\]
è di Kroneker, e che ogni polinomio non nullo si scrive in unico modo come combinazione lineare finita dei polinomi \(x^0,x^1,\ldots ,x^k,\ldots \), i.e. che:
\[
\mathbf{p} = \sum_{k=0}^{\nu -1} a_k x^k\; ,
\]
e che quello nullo può identificarsi con lo $0$ di $\mathbb{A}$.
Per le equazioni, la cosa è abbastanza più semplice.
Una definizione più o meno generale è la seguente:
Se vuoi una definizione di sistema lineare di $m$ equazionin in $n$ incognite sul campo $\mathbb{K}$, basta specializzare la definizione precedente con $X=\mathbb{K}^n$, $Y=\mathbb{K}^m$ ed $f$ applicazione lineare.
Sia $\mathbb{A}$ un anello.
Si chiama polinomio a coefficienti in $\mathbb{A}$ ogni successione definitivamente nulla di elementi di $\mathbb{A}$, i.e. ogni successione $\mathbf{p}=(a_n)$ (con $a_n\in \mathbb{A}$) tale che:
\[
\exists \nu \in \mathbb{N}:\quad n\geq \nu\ \Rightarrow\ a_n=0 \text{ (lo zero è quello di $\mathbb{A}$)}\; .
\]
L'insieme dei polinomi a coefficienti in $\mathbb{A}$ si denota col simbolo $\mathbb{A}[x]$.
Il polinomio corrispondente alla successione nulla si chiama polinomio nullo.
Se $\mathbf{p}$ è un polinomio non nullo, si chiama grado di $\mathbf{p}$ il numero \(\operatorname{grad} (\mathbf{p}) := \nu-1\in \mathbb{N}\) (in cui $\nu$ è quello che figura nella definizione di polinomio). Al polinomio nullo si attribuisce usualmente grado $-\infty$.
Continuo a braccio, lasciandoti il compito di andarti a spulciare queste cose su un buon testo di Algebra.
Definendo la somma di successioni ed il prodotto per lo scalare come si deve (cioè componente per componente), si vede che $\mathbb{A}[x]$ si può dotare di una somma con le usuali proprietà (associativa, commutativa, elemento neutro, opposto) ed un prodotto esterno "sufficientemente buono" se il prodotto di $\mathbb{A}$ è "buono"; così, se $\mathbb{A}$ è un campo, $\mathbb{A}[x]$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb{A}$.
D'altra parte, definendo il prodotto di successioni à la Cauchy, i.e. come segue:
\[
(a_n)*(b_n) := \left( \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}\right)
\]
puoi mettere su $\mathbb{A}[x]$ un prodotto:
\[
\mathbf{p}\cdot \mathbf{q} = \left( \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} \right)
\]
che è "sufficientemente buono" se tale è il prodotto di $\mathbb{A}$ (e.g., se $\mathbb{A}$ è commutativo, il prodotto è commutativo; se $\mathbb{A}$ è unitario, il prodotto tra polinomi ha l'elemento neutro, i.e. il polinomio \(\mathbf{1}=(1,0,0,\ldots ,0,\ldots )\)); in tal modo $\mathbb{A}[x]$ diviene un'algebra.
Inoltre, se $\mathbb{A}$ è un dominio di integrtà (e.g., un anello commutativo unitario privo di divisori dello zero), allora vale la regola di addizione dei gradi, cioè la relazione:
\[
\operatorname{grad} (\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}) = \operatorname{grad} (\mathbf{p}) + \operatorname{grad} (\mathbf{q})\; .
\]
Per riportare tutto nella forma che conosci già, basta osservare che i polinomi:
\[
x^k := (\delta_n^k)
\]
in cui:
\[
\delta_n^k := \begin{cases} 1 &\text{, se } n=k\\ 0 &\text{, se } n\neq k\end{cases}
\]
è di Kroneker, e che ogni polinomio non nullo si scrive in unico modo come combinazione lineare finita dei polinomi \(x^0,x^1,\ldots ,x^k,\ldots \), i.e. che:
\[
\mathbf{p} = \sum_{k=0}^{\nu -1} a_k x^k\; ,
\]
e che quello nullo può identificarsi con lo $0$ di $\mathbb{A}$.
Per le equazioni, la cosa è abbastanza più semplice.
Una definizione più o meno generale è la seguente:
Siano $X,Y$ insiemi non vuoti, $f:X\to Y$ ed $\eta\in Y$.
Si chiama equazione il problema di determinare se esistono ed, eventualmente, calcolare esplicitamente, elementi $\xi \in X$ tali che:
\[
f(\xi)=\eta\; .
\]
Tale problema si denota col simbolo contratto $f(x)=\eta$, in cui $x$ è detto incognita.
Se vuoi una definizione di sistema lineare di $m$ equazionin in $n$ incognite sul campo $\mathbb{K}$, basta specializzare la definizione precedente con $X=\mathbb{K}^n$, $Y=\mathbb{K}^m$ ed $f$ applicazione lineare.
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