Deduzione dal teorema di sylow

[junior1]

salve a tutti mi è sorto un piccolo dubbio: è vero che ogni elemento di ordine p(primo) appartiene sempre ad un p-sylow? io credo sia vero ma non riesco a dimostrarlo, questo a volte viene scritto sui libri ma io nn lo trovo, qualcuno può farmi chiarezza o suggerirmi un link o un libro dv è scritto esplicitamente? grazie

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Chiama [tex]\Omega[/tex] l'insieme dei [tex]p[/tex]-Sylow di un gruppo [tex]G[/tex]. Prendi un elemento [tex]x \in G[/tex] di ordine [tex]p[/tex]. Il gruppo [tex]\langle x \rangle[/tex] ha ordine [tex]p[/tex] e agisce per coniugio su [tex]\Omega[/tex]. Le orbite di questa azione hanno cardinalità che divide [tex]|\langle x \rangle|=p[/tex], quindi hanno uno oppure [tex]p[/tex] elementi. Non possono avere tutte [tex]p[/tex] elementi dato che [tex]|\Omega| \equiv 1 \mod(p)[/tex], quindi deve esistere un'orbita con un solo elemento. In altre parole deve esistere un [tex]p[/tex]-Sylow [tex]P[/tex] tale che [tex]x^{-1}Px=P[/tex]. Da questo segue che [tex]\langle x \rangle P[/tex] è un sottogruppo di [tex]G[/tex] (è facile dimostrarlo). Il suo ordine è [tex]|\langle x \rangle P| = \frac{|\langle x \rangle| \cdot |P|}{|\langle x \rangle \cap P|}[/tex], una potenza di [tex]p[/tex] dato che [tex]|\langle x \rangle| \cdot |P|[/tex] è una potenza di [tex]p[/tex]. Ma dato che [tex]\langle x \rangle P[/tex] contiene [tex]P[/tex], deve coincidere con [tex]P[/tex] per definizione di sottogruppo di Sylow. In altre parole [tex]x \in P[/tex].

Lo stesso ragionamento funziona se anziché [tex]\langle x \rangle[/tex] prendi un qualsiasi [tex]p[/tex]-sottogruppo. In altre parole ogni [tex]p[/tex]-sottogruppo è contenuto in almeno un [tex]p[/tex]-Sylow.

[junior1]

grazie mille bella dimostrazione mi è stata molto utile!!!