Decomposizione primaria

[balestrav]

Ciao a tutti! Volevo chiedere se qualcuno poteva darmi qualche dritta su come comportarsi quando si deve trovare una decomposizione primaria. Ad esempio mi si chiede di trovare due decomposizioni primarie (diverse!) di [tex]I=(x^2y,xy^2) \subset \mathbb{C}[x,y][/tex] e di [tex]J=(xyz^2,xy^2)\mathbb{C}[x,y,z][/tex]. Io non so proprio da dove iniziare anche perchè nei due esempi in croce che abbiamo fatto in classe la decomposizione veniva buttata lì per magia!

[Studente Anonimo]

"balestrav":[tex]I=(x^2y,xy^2) \subset \mathbb{C}[x,y][/tex]

Ricordando che ogni potenza di un ideale massimale è un ideale primario, e che ogni ideale primo è primario (leggi qui), a occhio mi sembra che [tex](x^2y,xy^2) = (x,y)^3 \cap (x) \cap (y)[/tex]. Dico, a occhio. Che ne pensi?

Comunque con queste due idee il compito dovrebbe risultarti meno arduo.

[balestrav]

Si, ho verificato quella decomposizione, è giusta grazie. Ma come hai fatto a trovarla a occhio? Ad esempio per trovarne un'altra so che i primi minimali sono indipendenti dalla decomposizione, ma come li riarrangio? L'unica cosa che mi viene in mente è di piazzare quà e là qualche potenza...

[Studente Anonimo]

L'idea è trovare ideali primari che contengono [tex]I[/tex], e trovarne il più possibile. Cosicché [tex]I[/tex] è contenuto nella loro intersezione. Per esempio nel caso sopra ho pensato alla terza potenza di [tex](x,y)[/tex] perché i due generatori esibiti di [tex]I[/tex] hanno grado tre.

Una volta fatto questo, uno prova a dimostrare che questa intersezione è effettivamente uguale a [tex]I[/tex].

[maurer]

A livello teorico si può dire qualcosa di più, anche se purtroppo non è quasi mai possibile applicare la procedura che descriverò negli esercizi concreti.

Fissate un ideale [tex]I[/tex] decomponibile in un anello [tex]A[/tex]. Sappiamo che esiste solo un numero finito di primi minimali contenenti [tex]I[/tex]. Sia [tex]\mathfrak p[/tex] uno di essi, sia [tex]S_\mathfrak{p} = A \setminus \mathfrak p[/tex] e denotiamo con [tex]S_\mathfrak{p}(I)[/tex] la saturazione di [tex]I[/tex] rispetto al sistema moltiplicativo [tex]S_\mathfrak{p}[/tex]. Allora [tex]S_\mathfrak{p}(I)[/tex] è la componente [tex]\mathfrak p[/tex]-primaria di [tex]I[/tex].

Question (per balestrav): perché ho detto che [tex]S_\mathfrak{p}(I)[/tex] è la componente [tex]\mathfrak p[/tex]-primaria e non "una possibile componente [tex]\mathfrak p[/tex]-primaria"?

[balestrav]

Cosa intendi con saturazione ? (Di sicuro centrerà col fatto che le componenti primarie isolate sono indipendenti dalla decomposizione...)

[maurer]

Sì, il motivo è esattamente quello, ossia il secondo teorema di unicità per la decomposizione primaria.

Se [tex]f \colon A \to B[/tex] è un morfismo di anelli, la saturazione di un ideale [tex]I[/tex] di A è [tex]I^{ec}[/tex], ossia la contrazione dell'estensione di I tramite f. Nel caso della localizzazione, la mappa è ovviamente la mappa canonica [tex]A \to S^{-1} A[/tex].